Wyliczyć pierwiastki wielomianu

[kkonrad]

Wiadomo, że liczba \(\displaystyle{ z_{1} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ z^{3}+1}\). Wyznacz pozostałe dwa pierwiastki tego wielomianu.

Zrobiłem to z Hornera i ten wielomian 2 stopnia wyszedł mi taki:
\(\displaystyle{ z^{2} + (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)z - \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

Obliczyłem pierwiastek z takiej delty:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i}}\)

i wyszedł mi on taki:
\(\displaystyle{ -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i}\)

Po podstawieniu do wzoru na pierwiastki wyszły mi one takie:

\(\displaystyle{ z_{2} = -\frac{1}{4} - \frac{4\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}i}\)

\(\displaystyle{ z_{3} = -\frac{1}{4} + \frac{4\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4}i}\)

I teraz moje pytanie czy dobrze mi wyszły te pierwiastki oraz czy da się to zadanie zrobić jakoś szybciej.

[BettyBoo]

Skoro ta liczba jest pierwiastkiem, to liczba do niej sprzężona również (bo wielomian na współczynniki rzeczywiste). Zatem znasz już dwa pierwiastki, trzeci łatwo znaleźć (właściwie to łatwo go znaleźć bez żadnych specjalnych obliczeń). Twoja odpowiedź nie jest poprawna.

Pozdrawiam.

[kkonrad]

No a dlaczego moje jest źle skoro ładnie podzieliłem itp?

No a jeśli postępując Twoim sposobem to jak znaleźć tego 3 pierwiastka bez żadnych specjalnych obliczeń jak mówisz?

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ z^3+1=0\ \Rightarrow \ z=\sqrt[3]{-1}}\)

więc oczywistym rozwiązaniem jest -1. Twoje rozwiązanie jest błędne, bo u Ciebie -1 nie widzę (pewnie się pomyliłeś w rachunkach)

Pozdrawiam.

[kkonrad]

Dziękuję