Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Arius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2010, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: Arius »

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie: \(\displaystyle{ (z-1)^{3}=-i}\) ?-- 3 lut 2010, o 02:16 --
mikolajr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 01:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 49 razy

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: mikolajr »

oblicz pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-i}}\) i każdy z nich przyrównaj do z-1 wyliczając z
Arius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2010, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: Arius »

Problem tkwi w tym, że nie bardzo wiem jak z takiego wyrażenia mam obliczyć te pierwiastki..
mikolajr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 01:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 49 razy

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: mikolajr »

\(\displaystyle{ z_k=|z|^{\frac{1}{n}} \left (cos\left \frac{\varphi+2\pi K}{n}+isin\left \frac{\varphi+2\pi K}{n} \right)}\)

np. dla k=0

\(\displaystyle{ z_0=|1| \cdot \left (cos\left \frac{\frac{3}{2} \pi + 2 \pi \cdot 0 }{3} + isin\left \frac{\frac{3}{2} \pi + 2 \pi \cdot 0 }{3} \right) = (cos\left \frac{ \pi }{2} + \left i sin \left \frac{ \pi }{2}) = \left i}\)

analogicznie dla k=1 oraz k=2
Arius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2010, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: Arius »

Według tego wzoru co podałeś to powinno wyglądać tak:
dla k=1
\(\displaystyle{ z_1=|2| \cdot \left (cos\left \frac{\frac{3}{2} \pi + 2 \pi \cdot 1 }{3} + isin\left \frac{\frac{3}{2} \pi + 2 \pi \cdot 1 }{3} \right) = (cos\left \frac{ \ \pi{7} }{6} + \left i sin \left \frac{ \ \pi{7} }{6}) = \left i}\) ?
dla k=2
\(\displaystyle{ z_2=|3| \cdot \left (cos\left \frac{\frac{3}{2} \pi + 2 \pi \cdot 2 }{3} + isin\left \frac{\frac{3}{2} \pi + 2 \pi \cdot 2 }{3} \right) = (cos\left \frac{ \ \pi{11} }{6} + \left i sin \left \frac{ \ \pi{11} }{6}) = \left i}\) ?
Tylko nie mam pojęcia jak obliczasz moduł z \(\displaystyle{ Z^{1/n}}\) i jak zwijasz te wyniki np. dla k=0 na końcu Ci wyszło \(\displaystyle{ ( sin \pi /2 + isin \pi /2)}\)=1 ??
Ostatnio zmieniony 3 lut 2010, o 03:21 przez Arius, łącznie zmieniany 2 razy.
mikolajr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 01:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 49 razy

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: mikolajr »

a o zespolonych coś wiesz?

\(\displaystyle{ z=a+bi}\) ogólna postać

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{a^2+b^2}}\) moduł

\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{b}{|z|} \\
cos \varphi = \frac{a}{|z|}}\)


\(\displaystyle{ z=-i \rightarrow a=0 \wedge b=-1 \\ |z|=1 \\ sin \varphi = -1 \wedge cos \varphi = 0 \Rightarrow arg \left z=\varphi = \frac{3}{2} \left \pi}\)

dla k=1 masz
\(\displaystyle{ cos \left \frac{7}{6} \pi + isin \left \frac{7}{6} \pi = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}}\)
dla k=2
\(\displaystyle{ cos \left \frac{11}{6} \pi + isin \left \frac{11}{6} \pi = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}}\)

edit: jakbyś mógł sprecyzować pytanie bo trochę nie rozumiem?
Ostatnio zmieniony 3 lut 2010, o 03:26 przez mikolajr, łącznie zmieniany 1 raz.
Arius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2010, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: Arius »

Ok, już rozumiem ten schemat, tylko mi powiedź skąd Ty odczytałeś te własności? \(\displaystyle{ \frac{ - \sqrt{3} }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{-i}{2}}\) i to będzie wszystko.
mikolajr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 01:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 49 razy

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: mikolajr »

ale w sensie co odczytałem jaka jest wartość dla cos i sin \(\displaystyle{ \frac{7}{6} \pi}\) ??
edit : to są właśnie wartości dla tego kąta tylko tam jest i ponieważ to jest część urojona
Kondrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 2 lut 2010, o 10:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: Kondrus »

Ja to rozpisałem... Na koniec wystarczy tylko policzyć cosinusy i sinusy i gotowe

\(\displaystyle{ z=1}\)
\(\displaystyle{ \phi=270^o \rightarrow \frac{3\pi}{2}}\)

Tutaj już podzieliłem wszystkie kąty przez 3

\(\displaystyle{ w_0=\sqrt[3]{1}(cos\frac{\pi}{2}+i sin \frac{\pi}{2})}\)

\(\displaystyle{ w_1=\sqrt[3]{1}(cos(\pi+\frac{\pi}{6})+i sin(\pi+\frac{\pi}{6}))}\)

\(\displaystyle{ w_2=\sqrt[3]{1}(cos(\pi+(\pi-\frac{\pi}{6}))+i sin(\pi+(\pi-\frac{\pi}{6})))}\) Tutaj to tak rozpisane dla łatwiejszego odczytania wartości z tablic
Arius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2010, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające równanie.

Post autor: Arius »

Aaa.. to taki knif, dzięki wielkie za pomoc.

Pozdrawiam!

-- 3 lut 2010, o 13:14 --

Nie wiem czy dobrze policzyłem, ale wychodziłoby:

dla \(\displaystyle{ k=0
z_o=i}\)


dla \(\displaystyle{ k=1
z_1=- \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i}\)


dla \(\displaystyle{ k=2
z_2= \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i}\)


Nie wiem dlaczego mikolajr pisze \(\displaystyle{ |1|, |2|, |3|}\), a Ty wszędzie piszesz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}}\), jaka jest różnica i o co w tym chodzi?-- 3 lut 2010, o 22:38 --Może ktoś polecić jakąś książkę co mi to łopatologicznie wytłumaczy, bo na sam widok skryptu boli mnie głowa, a od czytania zbiera mi się na wymioty.. ?!
ODPOWIEDZ