Rozwiązać równanie kwadratowe

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kkonrad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 2 lut 2009, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: kkonrad »

Rozwiązać dane równanie w ciele liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ z^{2}-4z+4+i = 0}\)
No to liczę delte:
\(\displaystyle{ \Delta = -4i}\)
No i teraz:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-4i}}\)
To wychodzą dwa pierwiastki, bo tyle jest pierwiastków jaki jest stopień pierwiastka, więc wyjdą mi dwie delty i przez to aż 4 pierwiastki tego wielomianu?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: BettyBoo »

Nie, dwa. Wzór na pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ az^2+bz+c=0}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) ma postać \(\displaystyle{ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Pozdrawiam.
kkonrad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 2 lut 2009, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: kkonrad »

A co się stało z \(\displaystyle{ \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) ?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: BettyBoo »

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej są dwa - sam pisałeś, nie? No to masz dwa rozwiązania, jak wstawisz oba pierwiastki.

Niektórzy robią to w ten sposób, że zostają przy standardowym wzorze (takim jak w rzeczywistych) a do zapisu rozwiązania "wybierają" sobie jeden z obliczonych pierwiastków.

Jak by to nie było, pierwiastki wielomianu stopnia 2 nad zespolonymi są zawsze 2 (niekoniecznie różne). Wzór który podałam jest poniekąd bardziej uzasadniony (co wynika z tego, jak powstaje wzór na pierwiastki, czyli z dowodu).

Pozdrawiam.
kkonrad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 2 lut 2009, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: kkonrad »

No czyli Ty do tego swojego wzoru podstawiasz dwa różne \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) tak? No bo \(\displaystyle{ \sqrt{-4i}}\) to są dwie różne liczby tak?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: BettyBoo »

No tak. Z symbolem pierwiastka w zespolonych trzeba uważać

Pozdrawiam.
kkonrad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 2 lut 2009, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: kkonrad »

No a jak podstawie do wzoru \(\displaystyle{ \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\). Dwie różne wartości za \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\). To dostane 4 pierwiastki czyż nie? Czy będą one parami takie same?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: BettyBoo »

kkonrad pisze:No a jak podstawie do wzoru \(\displaystyle{ \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\). Dwie różne wartości za \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\). To dostane 4 pierwiastki czyż nie? Czy będą one parami takie same?
Nie. Przeczytaj jeszcze raz, co napisałam. Albo wstawiasz wybraną wartość pierwiastka z delty do wzoru, który Ty podajesz, albo wstawiasz oba pierwiastki z delty do wzoru, który ja podałam, tertium non datur

Pozdrawiam.
kkonrad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 2 lut 2009, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: kkonrad »

Wyszły mi takie pierwiastki tego wielomianu:
\(\displaystyle{ z_{1} = 2-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \\}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = 2+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}\)

Mogłabyś sprawdzić czy dobrze?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: BettyBoo »

Dobrze.

Pozdrawiam.
kkonrad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 2 lut 2009, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: kkonrad »

A jeśli wracając do Twojej odpowiedzi w innym temacie, bo teraz to zauważyłem tutaj. Dlaczego te pierwiastki nie są ze sobą sprzężone?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: BettyBoo »

Bo współczynniki tego wielomianu nie są rzeczywiste.

Pozdrawiam.
kkonrad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 2 lut 2009, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Rozwiązać równanie kwadratowe

Post autor: kkonrad »

Dzięki już to rozumiem
ODPOWIEDZ