Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór:
\(\displaystyle{ A: \{ z:z \in \mathbb{C} : z^2=i \wedge |z+1+i|<1 \}}\)
Proszę o pomoc
Naszkicować zbiór
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Naszkicować zbiór
Pierwszy warunek:
\(\displaystyle{ z^{2}=i}\)
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}+2xyi=i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy=1 \\ x^{2}-y^{2}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{2}}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee x=-\frac{\sqrt{2}}{2}, y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Pierwszy warunek ma zatem postać równoważną:
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \vee z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Wystarczy sprawdzić, czy drugi warunek jest spełniony dla tych dwóch punktów.
\(\displaystyle{ z^{2}=i}\)
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}+2xyi=i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy=1 \\ x^{2}-y^{2}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{2}}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee x=-\frac{\sqrt{2}}{2}, y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Pierwszy warunek ma zatem postać równoważną:
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \vee z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Wystarczy sprawdzić, czy drugi warunek jest spełniony dla tych dwóch punktów.