Liczby zespolone - wielomiany

[artszy1001]

Mam problem z takimi zadankami, proszę o jakieś sugestie do nich.

1. Rozwiąż w ciele liczb zespolonych wielomian:
\(\displaystyle{ z^2 - 4z + 4 + i = 0}\)
Liczę delte i wychodzi:
\(\displaystyle{ \Delta = -4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt\Delta = \sqrt-4i}\)
i nie wiem co trzeba teraz z tym zrobić. Czyli jak wyciągnąć to spod pierwiastka (chyba, że to można zostawić pod pierwiastkiem.
Wtedy wychodzi mi takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{4 + \sqrt(-4i)}{2}
z_{2} = \frac{4 - \sqrt(-4i)}{2}}\)

2. Wiadomo, że liczba \(\displaystyle{ z_{1} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt(3)}{2}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3 + 1]/tex]. Wyznacz pozostałę 2 pierwiastki. Co w ogóle z tym trzeba zrobić, by to rozwiązać?

PS. Mam nadzieję, że nie popełniłem nigdzie błędów w latexie
PS2. Jednak coś się zwaliło, spróbuje coś z tym zrobić, ale to moje pierwsze spotkanie z tym...}\)

[miodzio1988]

1. Zle delta jest policzona
2. Skoro masz jeden pierwiastek to sprzezenie tego pierwiastka tez bedzie pierwiastkiem

[artszy1001]

1. Źle? Hmm... Wzór na delte to \(\displaystyle{ \Delta = b^2 - 4ac}\) wiec \(\displaystyle{ \Delta = (-4)^2 - 4*1*(4 + i) = 16 - 16 - 4i}\) Gdzie tkwi mój błąd?

2. \(\displaystyle{ z_{1} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2}}\), \(\displaystyle{ z_{2} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt3}{2}}\)

Wielomian można zapisać jako:
\(\displaystyle{ (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = z^3 + 1}\) Więc to chyba będzie tak wyglądać:
\(\displaystyle{ (z - \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt3}{2})(z - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2})(z - z_3) = z^3 + 1}\)
I w jaki sposób można policzyć te z_3 z tego wielomianu?

PS: Już wiem, po prostu \(\displaystyle{ x^3 = -1}\) co oczywiście daje \(\displaystyle{ x = -1}\) Dzięki, za pomoc w drugim zad, a o co chodzi w 1?

[miodzio1988]

1. Moj błąd. Przepraszam
Wystarczy zatem , że policzysz ten pierwiastek z -4i i mas gotowe rozwiazanie
2 dzielenie wielomianow /schemat Hornera

[artszy1001]

Kurde, napisałem posta z latexem i nie wysłało mi go, bo mnie wylogowało w międzyczasie ;/ Nie chce mi się tego pisać ponownie - pisanie składni latexa to mordęga - ale powiem krótko: Dzięki za pomoc -- 1 lut 2010, o 00:21 --I mam kolejne pytanie:

Zad. Wyznacz rzeczywiste liczby a i b takie, że jednym z pierwiastków
wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = x^4 + ax^2 + b}\) jest liczba \(\displaystyle{ 3i + 2}\). Przez jaki wielomian
rzeczywisty stopnia 2 musi się dzielić bez reszty wielomian w(x)? Wyznaczony wielomian w(x) rozłóż na iloczyn wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych.

Wiem, że \(\displaystyle{ x_1 = 3i + 2}\) i \(\displaystyle{ x_1 = 3i - 2}\)

I stosując wzór na postać iloczynową wyliczyłem, że \(\displaystyle{ (x - x_1)(x - x_2) = x^2 -4x + 13}\). I co dalej mam zrobić z tym zadaniem?