Rozwiąż równanie

[przlde]

Mam takie równanko proszę mi powiedzieć co dalej:
\(\displaystyle{ \overline{z} = z ^{2}}\)

zaczynam zabawę przez podstawienie za \(\displaystyle{ \overline{z} = x-iy}\)

a za \(\displaystyle{ z = x+iy}\)

Okej w takim razie wychodzi takie coś:
\(\displaystyle{ x-iy=(x+iy)^{2}}\)
\(\displaystyle{ x-iy = x^{2} + 2ixy - y^{2}}\)
\(\displaystyle{ x-iy - x^{2} - 2ixy + y^{2} = 0}\)

Tworze układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x - x^{2} + y^{2} = 0 \\ -y - 2xy = 0 \end{cases}}\)

Nom i teraz stoję w miejscu czy w ogóle dobrze to robię ? Co dalej?

[Dudas]

Dobrze narazie :

Z drugiego równania wyznaczamy \(\displaystyle{ x}\), ponieważ możemy podzielić przez \(\displaystyle{ y}\) (\(\displaystyle{ y \neq 0}\)) i dostajemy :

\(\displaystyle{ x = \frac {-1}{2}}\)
Podstawiając do pierwszego równania dostajemy :
\(\displaystyle{ y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Tak więc te liczby to :
\(\displaystyle{ z_1 = (\frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})}\) i \(\displaystyle{ z_2 = (\frac{-1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})}\)

[przlde]

W wyniku ma być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) bez tego minusa, mógłbyś mi pokazać jak dokładnie ten x wyciągnąłeś? Już mi się to miesza...

[Dudas]

\(\displaystyle{ -y-2xy = 0 \\ 2xy = -y \\ 2x = -1 \\ x = \frac{-1}{2}}\)

Także sam nie widzę błędu gdzie mógłby zniknąć ten minus, poza tym wtedy \(\displaystyle{ y}\) byłoby nierzeczywiste

Poza tym jak sprawdzisz sobie, to te liczby które podałem spełniają warunki zadania \(\displaystyle{ (\bar z = z^2)}\)

[przlde]

W odpowiedziach są dodatkowe wyniki 0 i -1

[Dudas]

Ja założyłem że to równanie ma zachodzić dla liczb zespolonych \(\displaystyle{ (x+yi)}\) gdzie \(\displaystyle{ y \neq 0}\)
Jeżeli nie zrobimy tego założenia z \(\displaystyle{ y}\), no to oczywiście nie można podzielić równania przez 0 i trzeba kombinować inaczej.
Mogę dodać że \(\displaystyle{ -1}\) nie spełnia tego równania ponieważ \(\displaystyle{ \bar {-1} = -1}\), a \(\displaystyle{ (-1)^2 = 1}\), także \(\displaystyle{ \bar {-1} \neq (-1)^2}\)
Natomiast 0 spełnia to równanie i może to znaleźć w następujący sposób :
Bierzemy znowu drugie równanie i piszemy :
\(\displaystyle{ y(2x+1)=0 \Rightarrow y = 0 \vee x = \frac {-1}{2}}\)
Załóżmy teraz że \(\displaystyle{ y=0}\)
Wracamy do pierwszego równania
\(\displaystyle{ x = x^2 -y^2 \\
x = x^2 - 0\\
x(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1 \vee x = 0}\)
I z tego wynika że mamy dwie dodatkowe liczby : \(\displaystyle{ z_3 = 0}\) oraz \(\displaystyle{ z_4 = 1}\)