Z wzrou de Moivre'a

[ipavelek]

z wzrou de Moivre'a obliczyć sin(3x),cos(3x)


Facet dał nam to na kolosie a wogóle nic nie mówił o czymś takim jak wzór de Moivre'a,
czytałem trochę o tym lecz nie mam pojęcia jak to rozwiązać.
Z Góry Dzieki

[Crizz]

Wzór de Moivre'a wygląda tak:
\(\displaystyle{ (cos\alpha+isin\alpha)^{n}=cos(n\alpha)+isin(n\alpha),n \in N}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ n=3}\), otrzymujesz:
\(\displaystyle{ (cos\alpha+isin\alpha)^{3}=cos(3\alpha)+isin(3\alpha)}\)
Lewą stronę rozwijasz za pomocą wzoru na sześcian sumy:
\(\displaystyle{ cos^{3}\alpha+3icos^{2}\alpha sin\alpha-3cos\alpha sin^{2}\alpha-isin^{3}\alpha=cos(3\alpha)+isin(3\alpha)}\)
Kryterium równości liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ cos(3\alpha)=cos^{3}\alpha-3cos\alpha sin^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ sin(3\alpha)=3cos^{2}\alpha sin\alpha-sin^{3}\alpha}\)