Wyznacz wszystkie liczby:
a) sprzężone do swojego sześcianu,
b) które są sprzężone do minus swojego kwadratu.
Bardzo dziękuję za pomoc
sprzężenie liczby
-
- Użytkownik
- Posty: 333
- Rejestracja: 4 lis 2009, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 75 razy
sprzężenie liczby
a) Rozważmy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ (a+bi)}\). Sześcian takiej liczby wynosi
\(\displaystyle{ (a+bi)^3 = a^3-3ab^2 +i(3a^2b-b^3)}\)
Aby liczba \(\displaystyle{ (a+bi)}\) była sprzężona do swojego sześcianu muszą wystąpić zatem następujące warunki :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = a^3 - 3ab^2 \\ -b = 3a^2b -b^3 \end{cases}}\)
Zakładając że \(\displaystyle{ b \neq 0}\), możemy drugi warunek skrócić o b, a zatem rozwiązaniem tego układu równań są liczby :
\(\displaystyle{ a = 0, b=1 \vee b=-1}\)
Zatem liczbami sprzężonymi do swojego sześcianu są :
\(\displaystyle{ i}\), oraz \(\displaystyle{ -i}\)
Co łatwo można sprawdzić
b) Analogicznie do a)
Mamy liczbę \(\displaystyle{ (a+bi)}\) gdzie \(\displaystyle{ b \neq 0}\).
Sprawdzamy jak wygląda minus kwadrat takiej liczby :
\(\displaystyle{ -(a+bi)^2 = -a^2 -2abi +b^2}\)
I teraz żeby liczba była sprzężona do przeciwieństwa swojego kwadratu mamy dwa warunki :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = -a^2 +b^2 \\ -b = -2ab \end{cases}}\)
Rozwiązaniem tego układu równań jest :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac {1}{2} \\ b=\frac {\sqrt{3}}{2} \vee b = \frac {-\sqrt{3}}{2} \end{cases}}\)
Zatem te liczby to :
\(\displaystyle{ (\frac {1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)}\) oraz \(\displaystyle{ (\frac {1}{2} + \frac{-\sqrt{3}}{2}i)}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^3 = a^3-3ab^2 +i(3a^2b-b^3)}\)
Aby liczba \(\displaystyle{ (a+bi)}\) była sprzężona do swojego sześcianu muszą wystąpić zatem następujące warunki :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = a^3 - 3ab^2 \\ -b = 3a^2b -b^3 \end{cases}}\)
Zakładając że \(\displaystyle{ b \neq 0}\), możemy drugi warunek skrócić o b, a zatem rozwiązaniem tego układu równań są liczby :
\(\displaystyle{ a = 0, b=1 \vee b=-1}\)
Zatem liczbami sprzężonymi do swojego sześcianu są :
\(\displaystyle{ i}\), oraz \(\displaystyle{ -i}\)
Co łatwo można sprawdzić
b) Analogicznie do a)
Mamy liczbę \(\displaystyle{ (a+bi)}\) gdzie \(\displaystyle{ b \neq 0}\).
Sprawdzamy jak wygląda minus kwadrat takiej liczby :
\(\displaystyle{ -(a+bi)^2 = -a^2 -2abi +b^2}\)
I teraz żeby liczba była sprzężona do przeciwieństwa swojego kwadratu mamy dwa warunki :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = -a^2 +b^2 \\ -b = -2ab \end{cases}}\)
Rozwiązaniem tego układu równań jest :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac {1}{2} \\ b=\frac {\sqrt{3}}{2} \vee b = \frac {-\sqrt{3}}{2} \end{cases}}\)
Zatem te liczby to :
\(\displaystyle{ (\frac {1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)}\) oraz \(\displaystyle{ (\frac {1}{2} + \frac{-\sqrt{3}}{2}i)}\)