\(\displaystyle{ z^{*} = z^{2}}\)
Wiadomo mi, ze \(\displaystyle{ z^{*}*{z} = \left|{z}\right|^{2}}\), a nie wiedzieć skąd WolframAlpha znajduje mi takie oto pierwiastki {\(\displaystyle{ 0,1,\frac{-1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}}\)}.
\(\displaystyle{ z^{*}}\) - z sprzężone;
Próbowałem wszelkimi sposobami, od wyznaczenia x oraz y jak i przedstawienia w postaci trygonometrycznej - bez rezultatu.
Zakładamy że z=x+i*0?
Zaznaczyc w plaszczyznie zespolonej zbior liczb z...
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Zaznaczyc w plaszczyznie zespolonej zbior liczb z...
Znajduje najprawdoodobniej prawidłowo.
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \overline{z}=x-yi}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^{2} \Leftrightarrow x-yi=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
\(\displaystyle{ x-yi=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
Kryterium równości liczb zespolonych: \(\displaystyle{ z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow Re(z_{1})=Re(z_{2}) \wedge Im(z_{1})=Im(z_{2})}\)
Stąd wynika układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=x \\ 2xy=-y \end{cases}}\),
Z rozwiązań którego wynikają właśnie podane liczby.
Na płaszczyźnie zespolonej to będą po prostu cztery punkty.
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \overline{z}=x-yi}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^{2} \Leftrightarrow x-yi=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
\(\displaystyle{ x-yi=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
Kryterium równości liczb zespolonych: \(\displaystyle{ z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow Re(z_{1})=Re(z_{2}) \wedge Im(z_{1})=Im(z_{2})}\)
Stąd wynika układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=x \\ 2xy=-y \end{cases}}\),
Z rozwiązań którego wynikają właśnie podane liczby.
Na płaszczyźnie zespolonej to będą po prostu cztery punkty.