Ortonormalizacja Grama Schmidta

e-v-e-l-a · Post autor: **e-v-e-l-a** » 24 sty 2010, o 22:38

Cześć . Czy mógłby mi ktoś pomoc w rozwiązaniu tego zadania?

Mam korzystając z metody ortogonalizacji Grama Schmidta zortonormalizować układ wektorów tak aby jeden z nowych wektorów mial ten sam kieruneki zwrot co wektor \(\displaystyle{ \vec{v _{1} }}\):

\(\displaystyle{ \vec{v _{1} }}\) = \(\displaystyle{ \left(2,i,0 \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{v _{2} }}\) = \(\displaystyle{ \left( 1,0,1\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{v _{3} }}\) =\(\displaystyle{ \left(1,-1,1-i \right)}\)

mniej więcej rozumiem ortonormalizacje ale nie wiem jak to by miało wygladać w przypadku wystapienia liczb zespolonych.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 24 sty 2010, o 23:11

Liczy się analogicznie, tylko musisz zastosować odpowiedni wzór na iloczyn skalarny.

Pozdrawiam.

e-v-e-l-a · Post autor: **e-v-e-l-a** » 24 sty 2010, o 23:35

chodzi może o cos takiego :

\(\displaystyle{ \langle \vec{v} \left| \vec{w} \rangle}\)=\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} v _{i} ^{*} w _{i}}\)?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 24 sty 2010, o 23:39

Tak, o coś takiego, jeśli mowa o standardowym iloczynie skalarnym w \(\displaystyle{ C^n}\).

Pozdrawiam.

e-v-e-l-a · Post autor: **e-v-e-l-a** » 25 sty 2010, o 06:37

a mogłabyś mi wytłumaczyć jak go zastosować ?
podobno mam zastosować gdzieś sprzężenie, tylko nie bardzo wiem w jaki sposób?
zmieniają się gdzieś w trakcie rozwiązywania znaki przed liczbami wymiernymi?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 25 sty 2010, o 18:31

No w tym wzorze \(\displaystyle{ *}\) oznacza sprzężenie (inne oznaczenie liczby sprzężonej do \(\displaystyle{ z}\) to \(\displaystyle{ \overline{z}}\)). Więc na przykład (użyję tego drugiego oznaczenia, żeby się nie myliło z iloczynem)

\(\displaystyle{ \langle (2,i,0)|(1,-1,1-i)\rangle=\overline{2}\cdot 1+\overline{i}\cdot (-1)+\overline{0}\cdot (1-i)=2+i}\)

Itd

Pozdrawiam.

e-v-e-l-a · Post autor: **e-v-e-l-a** » 26 sty 2010, o 00:18

prosiłabym o sprawdzenie poprawności liczenia, przekonałabym się czy zrozumiałam wskazówki i algorytm rozwiązywania:

\(\displaystyle{ \vec{e _{1} }}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{5} } \left( 2, i ,0\right)}\)

\(\displaystyle{ < \vec{e _{1} } \left| \vec{V _{2} } > = \frac{1}{ \sqrt{5} } \left( 2,i,0\right) \left( 1,0,1\right) = \frac{2}{ \sqrt{5} }}\)

\(\displaystyle{ < \vec{e _{1} } \left| \vec{V _{2} } > \vec{e _{1} } = \frac{2}{5} \left( 2,i,0\right)}\)

\(\displaystyle{ \vec{e _{2}' }= \vec{v _{2} }- < \vec{e _{1} } \left| \vec{V _{2} } > \vec{e _{1} }= \left( 1,0,1\right) - \frac{2}{5} \left( 2,i,0\right)= \frac{1}{ 5} \left( 1,-2i,5\right)}\)

\(\displaystyle{ \vec{e _{2} }= \frac{1}{ \sqrt{6} } \left( 1,-2i,5\right)}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 26 sty 2010, o 00:38

Z Twoich oznaczeń wynika, że wektory \(\displaystyle{ \vec{e_i}}\) są znormalizowane - czyli powinno być

\(\displaystyle{ \vec{e _{2} }= \frac{1}{ \sqrt{30} } \left( 1,-2i,5\right)}\)

Pozostałe obliczenia są poprawne.

Pozdrawiam.

e-v-e-l-a · Post autor: **e-v-e-l-a** » 26 sty 2010, o 00:54

Dziękuje za pomoc

milen_a · Post autor: **milen_a** » 7 lut 2010, o 19:04

Mam pytanie odnośnie tego przykładu.
Normę np. z \(\displaystyle{ \vec{v_1}}\) liczy się tak: \(\displaystyle{ \left| \left| {\vec{v_1}}\right| \right| = \sqrt{\vec{v_1}*\vec{v_1}}}\), mam rację?
W obec tego dlaczego \(\displaystyle{ e_1}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt 5} \left( 2, i, 0\right)}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt 3} \left( 2, i, 0\right)}\)?
Z góry dziękuje za odpowiedź.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 7 lut 2010, o 19:43

Masz rację co do wzoru. Zauważ jednak, jak tu jest określony iloczyn skalarny - trzeba brać sprzężenia (wzór z trzeciego postu), czyli będzie

\(\displaystyle{ ||\vec{v_1}||=\sqrt{\overline{2}\cdot 2+\overline{i}\cdot i+\overline{0}\cdot 0}=\sqrt{4-i^2}=\sqrt{5}}\)

Pozdrawiam.

milen_a · Post autor: **milen_a** » 7 lut 2010, o 19:52

Aaaa...no to dziękuję ślicznie za wyjaśnienie