Równania z liczbą zespoloną

[Hatcher]

Zad.
Rozwiąż równania:
a.\(\displaystyle{ z^4-1=0}\)
b.\(\displaystyle{ z^5-1=0}\)
c.\(\displaystyle{ z^4-i=0}\)


Ad
a.
\(\displaystyle{ z^4-1=0 \iff (z^2-1)(z^2+1)=0 \iff (z-1)(z+1)=0 \vee z^2=-1 \iff z=1 \vee z=-1 \vee z^2=i^2 \iff
z=1 \vee z=-1 \vee z=i \vee z=-i}\)

b.
\(\displaystyle{ z^5-1=0 \iff z^5=1}\)
\(\displaystyle{ z_0=(\cos{0}+i \cdot \sin{0})}\)
\(\displaystyle{ z_1=z_0 \cdot (\cos{\frac{2\pi}{5}}+i \cdot \sin{\frac{2\pi}{5}})}\)
...
...
...
\(\displaystyle{ z_4=z_0 \cdot (\cos{\frac{8\pi}{5}}+i \cdot \sin{\frac{8\pi}{5}})}\)

c.
\(\displaystyle{ z^4-i=0 \iff z^4=i}\)
\(\displaystyle{ z_0=(\cos{\frac{\pi}{8}}+i \cdot \sin{\frac{\pi}{8}})}\)
...
...
...
\(\displaystyle{ z_3=z_0 \cdot (\cos{\frac{6\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{6\pi}{4}})}\)

Bardzo proszę o sprawdzenie mojego sposób rozwiązania.

[BettyBoo]

Nie wiem co ma być zamiast kropek, ale ostatni wynik masz źle, argumenty wychodzą postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\ k=0,1,2,3}\).

Reszta OK.

Pozdrawiam.

[Hatcher]

kropki to pozostałe pierwiastki
Dzięki wielkie za sprawdzenie.

Żeby nie zakładać nowego tematu:
1.\(\displaystyle{ z^2+(2+2i)z+(1+2i)=0\ iff (z+1+i)^2-1=0 \iff (z+i)(z+2+i)=0 \iff z=-i \vee z=-2-i}\)


2.\(\displaystyle{ z^2+2iz-5=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ z_1=-2-i}\), \(\displaystyle{ x_2=2-i}\)

Dobrze zrobiłem?

[BettyBoo]

1) raczej \(\displaystyle{ (z+1+i)^2+1=0}\)

2) \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\pm 4}\), reszta OK.


Pozdrawiam.

[Hatcher]

czyli jak rozwiązujemy równanie kwadratowe w liczbach zespolonych to delta może być też ujemna , ale przecież i tak to nie ma wpływu

[BettyBoo]

Nie ma takiego pojęcia jak ujemna delta w zespolonych - liczby zespolone są nieporównywalne.

Wpływ ma o tyle, że są de facto inne wzory na pierwiastki trójmianów zespolonych, mianowicie: \(\displaystyle{ z=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\).

Pozdrawiam.