Liczby zespolone - problem z obliczeniem zadania

[koder9]

Jak w temacie mam problem z takimi przykładami.

a)\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \right) ^{26}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{(1+i) ^{n} }{(1-i) ^{n-2} }}\) ,gdzie n jest liczbą naturalną.

Będę wdzięczny za wszelką pomoc!

[BettyBoo]

a) znajdź najpierw postać trygonometryczną tej liczby w nawiasie i skorzystaj ze wzoru na potęgowanie

b) \(\displaystyle{ \frac{(1+i) ^{n} }{(1-i) ^{n-2} }=\left(\frac{1+i }{1-i}\right) ^{n-2} (1+i)^2}\); wykonaj najpierw działanie w nawiasie, a potem już łatwo będzie

Pozdrawiam.

[koder9]

a)Ale jak to zrobić bo \(\displaystyle{ 1+i}\) było by banalne ale tam jest jeszcze dzielenie przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

b) A co zrobiłaś w tym przykładzie bo nie rozumie, co się stało stało z tą potęgo w liczniku??

[szatkus]

Hmmmm...
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i}\)

[BettyBoo]

a) nie widzę specjalnej różnicy ale możesz skorzystać z własności potęg, jeśli Ci się \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) nie podoba i zapisać sobie

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \right) ^{26}=\frac{(1+i)^{26}}{ \sqrt{2} ^{26}}}\)

b) skorzystałam z własności potęgowania:


\(\displaystyle{ \frac{(1+i) ^{n} }{(1-i) ^{n-2} }=\frac{(1+i) ^{n-2}(1+i)^2 }{(1-i) ^{n-2} }=\left(\frac{1+i }{1-i}\right) ^{n-2} }(1+i)^2}\)

Pozdrawiam.

[koder9]

Ok wielkie dzięki za pomoc!-- 17 sty 2010, o 22:07 --Hmm podpunkt b mi coś nie wychodzi powiedzcie mi gdzie robię błąd.

\(\displaystyle{ \frac{(1+i) ^{n} }{(1-i) ^{n-2} }=\frac{(1+i) ^{n-2}(1+i)^2 }{(1-i) ^{n-2} }=\left(\frac{1+i }{1-i}\right) ^{n-2} }(1+i)^2=\left(\frac{1+i }{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}\right)^{n-2}} \cdot (1+2i+i^{2} )=\left(\frac{(1+i)(1+i)}{1+1}\right)^{n-2}} \cdot (1+2i-1)=\left(\frac{(1+i+i-1)}{2}\right)^{n-2}} \cdot 2i=\left(\frac{2i}{2}\right)^{n-2}} \cdot 2i=i ^{n-2} \cdot 2i}\)

A podobno ma wyjść tak:
\(\displaystyle{ 2i ^{n-1}}\)