Oblicz pierwiastek trzeciego stopnia :

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ z=1+i}\)

[Calasilyar]

witam znowu

mi wyszło:
\(\displaystyle{ z_{0}=\sqrt[6]{2}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i)}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=\sqrt[6]{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\sqrt[6]{2}(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i)}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ z= [\frac{(1+i)(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{5}+1+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}]^{n}}\)

[Sir George]

Po pierwsze zauważ, że
\(\displaystyle{ \sqrt{10-2\sqrt{5}\,} \,= \,\sqrt{16-(\sqrt{5}+1)^2\,}}\),
czyli mianownik możesz przedtawić w postaci
\(\displaystyle{ 4\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4} + i\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2\,}\right)}\)
co daje już w prosty sposób postać trygonometryczną (bowiem \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}+1}{4}=\cos\frac{\pi}{5}}\)).

Licznik natomiast jest równy \(\displaystyle{ (1+\sqrt{3}) \sqrt{2} \big(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\big)}\)
co również łatwo przekształca się na postać trygonometryczną.

Ostatecznie otrzymujesz
\(\displaystyle{ z=(1+\sqrt{3})^n \frac{\sqrt{2}^n}{4^n} \big(\cos\frac{n}{20}\pi+i\sin\frac{n}{20}\pi\big)}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ z= [\frac{(1+i)(1+ i\sqrt{3})}{\sqrt{5}+1+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}]^{n}}\)

[Sir George]

w liczniku masz zatem iloczyn \(\displaystyle{ \sqrt{2}\big(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{sqrt{2}}{2}\big)}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2}\big(\frac{1}{2}+i\frac{sqrt{3}}{2}\big)}\)

Argument pierwszego czynnika wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), a drugiego \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)

Zatem
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}^n}{2^n} \big(\cos(n\frac{23}{60}\pi) + i\sin(n\frac{23}{60}\p)\big)}\)

... no ale to mogłeś już sobie sam policzyć (metodę miałeś wyjaśnioną w poprzednim poście)...