Wykazać okresowość f. sinus
Wykazać okresowość f. sinus
W jaki sposób wykazać okresowość funkcji sinus korzystając z postaci wykładniczej?
-
miodzio1988
Wykazać okresowość f. sinus
\(\displaystyle{ sinz= \frac{e ^{iz}- e^{-iz} }{2i}}\) No to napisz co to znaczy ze taka funkcja jest okresowa. Tylko wzor Eulera sie przyda
Wykazać okresowość f. sinus
A nie da się tego wykazać algebraicznie, podobnie jak parzystość/nieparzystość?
Wykazać okresowość f. sinus
W takim razie bardzo prosiłbym o gotowe rozwiązanie, bo niestety ja nie potrafię udowodnić aby \(\displaystyle{ sin(x + T) = sinx}\).
-
miodzio1988
Wykazać okresowość f. sinus
No to prosic zawsze mozesz a ja zawsze moge powiedziec nie. Wiec mowie nie. Ile Twoim zdaniem ten okres bedzie wynosic?
Wykazać okresowość f. sinus
No to jest jasne że \(\displaystyle{ 2 \pi}\) nawet jestem skłonny przyznać, że można to otrzymać korzystając z tożsamości Eulera \(\displaystyle{ e^{i\pi} + 1 = 0}\). Problem w tym, że nie chce mi to wyjść.
-
miodzio1988
Wykazać okresowość f. sinus
Napisz zatem (zgodne z definicja ) od czego wychodzimy i pokaz co Ci tam nie wychodzi. Zadanie nie jest trudne ale cwiczyc znajomosc definicji. Postaraj sie.
Wykazać okresowość f. sinus
Dobra w takim razie z mojej strony to wygląda tak:
\(\displaystyle{ sin (x + T) = sin x \newline
\frac{e^{i(x + T)} - e^{-i(x + T)}}{2i} = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \newline
e^{i(x + T)} - e^{-i(x + T)} = e^{ix} - e^{-ix} \newline
e^{ix}e^{iT} - e^{-ix}e^{-iT} = e^{ix} - e^{-ix} \newline
e^{ix}e^{iT} - e^{ix} = e^{-ix}e^{-iT} - e^{-ix} \newline
e^{ix}(e^{iT} - 1) = e^{-ix}(e^{-iT} - 1) \newline}\)
Już widać, że z tego nic nie będzie, bo w moim mniemaniu \(\displaystyle{ e^{ix}}\) powinno się skrócić albo zredukować.
\(\displaystyle{ sin (x + T) = sin x \newline
\frac{e^{i(x + T)} - e^{-i(x + T)}}{2i} = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \newline
e^{i(x + T)} - e^{-i(x + T)} = e^{ix} - e^{-ix} \newline
e^{ix}e^{iT} - e^{-ix}e^{-iT} = e^{ix} - e^{-ix} \newline
e^{ix}e^{iT} - e^{ix} = e^{-ix}e^{-iT} - e^{-ix} \newline
e^{ix}(e^{iT} - 1) = e^{-ix}(e^{-iT} - 1) \newline}\)
Już widać, że z tego nic nie będzie, bo w moim mniemaniu \(\displaystyle{ e^{ix}}\) powinno się skrócić albo zredukować.
-
miodzio1988
Wykazać okresowość f. sinus
\(\displaystyle{ sin (z + T) =...}\)
i zapisz to z definicji , ktora podalem w 1 poscie. Pozniej od razu Wzor Eulera, korzystasz z okresowosci sinusa i cosinusa i wracasz
i zapisz to z definicji , ktora podalem w 1 poscie. Pozniej od razu Wzor Eulera, korzystasz z okresowosci sinusa i cosinusa i wracasz
Wykazać okresowość f. sinus
Jak mogę skorzystać z okresowości sinusa, skoro mam ją wykazać. Przede wszystkim chciałbym się dowiedzieć co jest złego w moim rozumowaniu ?
-
miodzio1988
Wykazać okresowość f. sinus
Z okresowosci sinusa rzeczywistego korzystasz (masz do udowodnienia okresowosc sinusa zespolonego) Moim sposobem dojdziesz szybciej do tego (to beda trzycztery rownosci) . U Ciebie nie ma bledow w rozumowaniu, ale jakos dalej tego pociagnac nie umiesz, nie? A ten moj sposob idzie z automatu.Zaufaj mi i zrob to po mojemu
Wykazać okresowość f. sinus
W takim razie w jaki sposób wyliczyć że okres funkcji sinus jest równy \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Bo faktycznie jak podstawie \(\displaystyle{ 2 \pi}\) jako okres to wyjdzie.
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Wykazać okresowość f. sinus
Okres funkcji \(\displaystyle{ e^{z}}\) jest równy \(\displaystyle{ 2 \pi i}\), gdyż
\(\displaystyle{ e^{z + 2 \pi i} = e^{z}e^{2 \pi i} = e^{z}}\).
Zatem okres funkcji \(\displaystyle{ \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\) to \(\displaystyle{ 2 \pi}\), gdyż
\(\displaystyle{ \frac{e^{i(z + 2 \pi)} - e^{-i(z + 2 \pi)}}{2i} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\).
Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ 2 \pi i}\) to najmniejszy dodatni okres funkcji \(\displaystyle{ e^{z}}\).
\(\displaystyle{ e^{z + 2 \pi i} = e^{z}e^{2 \pi i} = e^{z}}\).
Zatem okres funkcji \(\displaystyle{ \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\) to \(\displaystyle{ 2 \pi}\), gdyż
\(\displaystyle{ \frac{e^{i(z + 2 \pi)} - e^{-i(z + 2 \pi)}}{2i} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\).
Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ 2 \pi i}\) to najmniejszy dodatni okres funkcji \(\displaystyle{ e^{z}}\).