Zastoswanie wzoru de Moivre'a

[Hatcher]

Zad 1.
Obliczyć:
a.\(\displaystyle{ (1+z)^n}\), gdzie \(\displaystyle{ z=\cos{\frac{2}{3} \pi}+i \cdot \sin{\frac{2}{3} \pi}, (n \in \mathbb{N})}\)
b. \(\displaystyle{ z^n+w^n}\), jeżeli \(\displaystyle{ z=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, w=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,(n \in \mathbb{N})}\)
c.
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^5-1}{(1+i)^5+1}}\)

Ad zad 1.
a.
\(\displaystyle{ z=a+bi, a,b \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ z=\cos{\frac{2}{3} \pi}+i \cdot \sin{\frac{2}{3} \pi}, \Rightarrow |z|=1, a=\cos{\frac{2}{3} \pi}, b=\sin{\frac{2}{3} \pi}}\)
Czyli\(\displaystyle{ z=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ (1+z)^n=(1+\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^n=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^n=(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \cdot \sin{\frac{\pi}{3}})^n=\cos{\frac{n \cdot \pi}{3}}+i \cdot \sin{\frac{n \cdot \pi}{3}}}\)

b.
\(\displaystyle{ z^n+w^n=(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i \cdot \sin{\frac{2\pi}{3}})^n+(\cos{\frac{4\pi}{3}}+i \cdot \sin{\frac{4\pi}{3}})^n=\cos{\frac{n \cdot 2\pi}{3}}+i \cdot \sin{\frac{n \cdot 2\pi}{3}}+
\cos{\frac{n \cdot 4\pi}{3}}+i \cdot \sin{\frac{n \cdot 4\pi}{3}}=(\cos{\frac{n \cdot 2\pi}{3}}+\cos{\frac{n \cdot 4\pi}{3}})+i(\sin{\frac{n \cdot 2\pi}{3}}+\sin{\frac{n \cdot 4\pi}{3}})}\)
I tu mam jeszcze zastosować wzór na sumę sinusów i cosinusów czy mogę tak zostawić?

c.

\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^5-1}{(1+i)^5+1}}\)
\(\displaystyle{ (1+i)=\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{\pi}{4}})}\)
\(\displaystyle{ (1-i)=\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{7\pi}{4}})}\)
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^5-1}{(1+i)^5+1}=\frac{(\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{7\pi}{4}}))^5-1}{(\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{\pi}{4}}))^5+1}
=\frac{(\cos{\frac{35\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{35\pi}{4}})-1}{(\cos{\frac{5\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{5\pi}{4}})+1}=
\frac{\cos{\frac{3\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{3\pi}{4}}-\cos{0}-i \cdot \sin{0}}{\cos{\frac{5\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{5\pi}{4}}+\cos{0}+i \cdot \sin{0}}}=
\frac{(\cos{\frac{3\pi}{4}}-\cos{0})+i( \sin{\frac{3\pi}{4}}- \sin{0})}{(\cos{\frac{5\pi}{4}}+\cos{0})+i( \sin{\frac{5\pi}{4}}+ \sin{0})}}}\)
I tutaj też mam zastosować wzory na sumę sinusów i cosinusów

Bardzo proszę o pomoc.

[BettyBoo]

1) OK

2) odpowiedź jest w postaci algebraicznej, chociaż nie do końca uproszczonej, więc to czy coś jeszcze robić z tym czy nie zależy od upodobań wykładowcy (radzę jednak uprościć )

3) Masz błąd, po drodze Ci zniknął moduł. Nie musisz z żadnego wzoru sinusów, po prostu oblicz te wartości (czyli znajdź postać algebraiczną)

\(\displaystyle{ 4\sqrt{2}(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i \cdot \sin{\frac{3\pi}{4}})-1=4\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)-1=-4+4i-1=-5+4i}\)

Mianownik tez oblicz podobnie i potem wykonaj zwykłe dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej.

Pozdrawiam.