zamiana l.zesp. na postać algebraiczna

[dominik_fil]

Witam, czy może ktoś to sprawdzić, czy dobrze zamieniłem l.zesp. na postać algebraiczna?

a)
\(\displaystyle{ e ^{\Pi(3-i)}

e ^{\Pi(3-i)} = cos{\Pi}-(-i+3)sin{\Pi}=-1-(-i+3)*0=-1}\)

b)
\(\displaystyle{ sh( \frac{\pi * i}{3})}\)

\(\displaystyle{ sh( \frac{\pi * i}{3}) = \frac{e ^{ \frac{\pi*i}{3} }- e ^{-( \frac{\pi * i}{3} )} }{2}= \frac{(cos \frac{\pi}{3} + i*sin \frac{\pi}{3} )-(cos \frac{\pi}{3}-i*sin \frac{\pi}{3} )}{2}= \frac{( \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}*i )-(\frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}*i)}{2}= \frac{ \frac{ 2\sqrt{3} }{2} *i}{2} /*2= \sqrt{3}*i}\)

c)
\(\displaystyle{ ln(5i)}\)

\(\displaystyle{ ln(5i)=ln}\)\(\displaystyle{ |5i|}\)\(\displaystyle{ +i*arg 5i}\)
\(\displaystyle{ arg (5i)= \frac{\pi}{2}}\)
bo na wykresie zaznaczamy na OY pkt 5 a na OX pozostaje w 0 i mamy strzałkę do góry (z zera do piątki), daje to kont 90 st., czyli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ |5i|}\)\(\displaystyle{ = \sqrt{ 0^{2}+(5i) ^{2} } = \sqrt{25*i ^{2} } = \sqrt{-25} =-5}\)
\(\displaystyle{ ln(5i)=ln-5+i( \frac{\pi}{2}+2k\pi )}\)

d)
\(\displaystyle{ 1 ^{i}}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{i}=e ^{i*ln{|1|}}\)
\(\displaystyle{ ln(1)=ln|1|+i*arg1}\)
\(\displaystyle{ arg1=0\pi}\)
bo na wykresie zaznaczamy na OX pkt 1 a na OY pozostaje w 0 i mamy strzałkę z grotem w prawo (z zera do jedynki), a to jest 0 stopni kąt, więc \(\displaystyle{ 0\pi}\)

\(\displaystyle{ |1|= \sqrt{1 ^{2}+ 0^{2}}=1}\)
\(\displaystyle{ ln(1)=ln1+i(0\pi+2k\pi)}\)
\(\displaystyle{ 1 ^{i}=e ^{i*ln1+i(0\pi+2k\pi)}=e ^{i*ln1}*e ^{-(0\pi+2k\pi)}=[cos(ln1)+i*sin(ln1)]*e ^{-0\pi-2k\pi}=e ^{-2k\pi}*cos(ln1)+ie ^{-2k\pi}sin(ln1)}\)

e)
\(\displaystyle{ (-1-i) ^{-i}}\)
\(\displaystyle{ (-1-i) ^{-i}=e ^{-i*ln(-1-i)}}\)
\(\displaystyle{ ln(-1-i)=ln|-1-i|+i*arg(-1-i)}\)
\(\displaystyle{ arg(-1-i)= \frac{5\pi}{4}}\)
bo na wykresie zaznaczamy na OX pkt -1 a na OY -1 i mamy strzałkę z grotem w lewo i w dół (z zera do współrzędnych (-1;-1), a to jest kąt -225 stopni, więc -180 st. to \(\displaystyle{ \pi}\) i -45 st. to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) razem \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ |-1-i|= \sqrt{-1 ^{2}+(-1 ^{2} ) }= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ ln(-1-i)=ln \sqrt{2} +i( \frac{5\pi}{4}+2k\pi )}\)
\(\displaystyle{ (-1-i) ^{-i}=e ^{-i*ln(-1-i)}=e ^{-i*(ln \sqrt{2}+i( \frac{5\pi}{4}+2k\pi )}=e ^{-ln \sqrt{2}}*e ^{ \frac{\pi5}{4}+2k\pi}=[cos(-ln \sqrt{2} )+ i*sin(-ln \sqrt{2} )] * e ^{ \frac{\pi5}{4}+2k\pi}=e ^{ \frac{\pi5}{4}+2k\pi}*cos(-ln \sqrt{2} )+i*e ^{ \frac{\pi5}{4}+2k\pi}*sin(-ln \sqrt{2} )}\)

f)
( sqrt{3}-i) ^{2i}=

[xorax]

Do pkt a chyba powinno być tak

\(\displaystyle{ e ^{\Pi(3-i)} = e^{3\Pi} \cdot e^{-\Pi i} = e^{3 \Pi} \cdot (\cos \Pi - i \sin \Pi ) = e^{3\Pi} \cos \Pi - i e^{3\Pi} \sin \Pi}\)

[dominik_fil]

To tylko to byłoby źle zrobione?
To jeszcze dopisze to f) i też proszę o sprawdzenie.
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i) ^{2i}}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i) ^{2i}=e ^{2i*ln( \sqrt{3}-i)}}\)
\(\displaystyle{ arg\left( \right \sqrt{3}-i)= -\frac{\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ | \sqrt{3}-i|= \sqrt{( \sqrt{3})^{2}+(-1) ^{2}}= \sqrt{4}=2}\)
\(\displaystyle{ ln( \sqrt{3}-i)=ln2+i(- \frac{\pi}{6}+2k\pi )}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i) ^{2i}=e ^{2i(ln+i(- \frac{\pi}{6}+2k\pi))}=e ^{2iln2}*e ^{-2(- \frac{\pi}{6}+2k\pi)}=[cos(ln2)+2i*sin(ln2)]*e ^{ \frac{\pi}{3}-4k\pi}=e ^{ \frac{\pi}{3}-4k\pi}*cos(ln2)+2ie ^{ \frac{\pi}{3}-4k\pi}*sin(ln2)}\)

Najbardziej mnie ciekawi, czy dobrze mi tu wyszło -4KPi, czy to jest dobrze i czy dobrze jest cały ten przykład?

[M Ciesielski]

Jakim prawem na końcu przykładu b) mnożysz to przez 2?

Pozdrawiam.

[dominik_fil]

Faktycznie coś tam źle zapisałem, powinno być *\(\displaystyle{ \frac{1}{2}.}\) I wtedy wynik mi wychodzi taki:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{2 \sqrt{3} }{2}*i }{2}/* \frac{1}{2}= \frac{2 \sqrt{3} *i}{4}}\)

Czy teraz jest dobrze? A jak inne?

[M Ciesielski]

Źle. Ta jedna druga nie ma tam racji bytu, ona się z nikąd nie bierze. Po prostu:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}i}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

[dominik_fil]

A czym się to różni co ja napisałem od tego co ty napisałeś? Przecież to jest taki sam wynik. 2/4 = 1/2

Ty po prostu sobie skróciłeś, a ja zrobiłem to samo tylko zapisując dokładnie co z czego się bierze. *1/2 to to samo co :2.

[pingu]

Ad c)
\(\displaystyle{ \sqrt{ 0^{2}+(5i) ^{2} } = \sqrt{25*i ^{2} } = \sqrt{-25} =-5}\) - źle
gdyż do modułu nie podstawiasz "i", wtedy moduł będzie równy 5 i całe zadanie:
\(\displaystyle{ ln(5i)=ln5+i( \frac{\pi}{2}+2k\pi )}\)

Ad d)
\(\displaystyle{ e ^{-2k\pi}*cos(ln1)+ie ^{-2k\pi}sin(ln1)=e ^{-2k\pi}}\), gdyż ln1=0

[dominik_fil]

Dzięki za wyjaśnienia. To według tego co piszesz w Ad c) wynika, że i w przykładzie f) też źle jest bo tak także wstawiłem do modułu i (4 linijka przykładu f)). Tak?
Tylko jaki wtedy powinien być wynik?

[pingu]

Ad f jest OKI, gdyż wartość mając liczbę \(\displaystyle{ z= \sqrt{3}-i}\), to \(\displaystyle{ ReZ =\sqrt{3}}\), a \(\displaystyle{ ImZ= -1}\)

więc moduł policzyłeś dobrze i reszta w tym przykładzie OKI