postać trygonometryczna liczb zespolonych

[artega7]

\(\displaystyle{ z ^{3}+ i=0}\)

Rozwiazaniami danego równania sąliczby \(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{-i}, k=1,2,3.}\)

Liczbę -i zapisujemy w postaci trygonometrycznej

\(\displaystyle{ z= \left|z \right|(cos \alpha +isin \alpha )}\)

\(\displaystyle{ -i = 1 \cdot (cos(- \prod_{}^{} /2 + isin (- \prod_{}^{} /2))}\)

I mam problem jak otrzymano kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w równaniu \(\displaystyle{ z= \left|z \right|(cos \alpha +isin \alpha )}\)

Dalszą część umiem rozwiązać

[BettyBoo]

Zaznacz sobie \(\displaystyle{ -i}\) na płaszczyźnie Gaussa i zaznacz argument.

Lub:

Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ cos\alpha=...,\ sin\alpha=...}\)

Pozdrawiam.

[artega7]

jak zaznaczyłem -i na płaszczyżnie to mi wyszedł kąt 3/4\(\displaystyle{ \prod_{}^{}}\) i jak zaznaczyć ten argument, nie wiem w tym miejscu co robić, proszę o pomoc

[BettyBoo]

A skąd Ci takie coś wyszło? Przecież \(\displaystyle{ -i}\) leży na osi urojonej, więc argument jest równy np \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) lub np \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) (ogólnie: \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z})}\)

Pozdrawiam.

[artega7]

tak to mój błąd powinno wyjść\(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\), jeszcze jedno czemu to równe jest \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\)

[BettyBoo]

Te kąty nie są oczywiście równe, ale obie te liczby są argumentem liczby \(\displaystyle{ -i}\) (zgodnie z definicją argumentu).

Pozdrawiam.

[artega7]

dzięki już wszystko wiem