Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ z^{4}-3z ^{2}+4=0\\
t=z ^{2}\\
t ^{2}-3t+4=0\\
\Delta _{t} =-7\\
\sqrt{\Delta _{t}}= \sqrt{7} i\\
t _{1} = \frac{3-\sqrt{7} i}{2}\
t _{2} = \frac{3+\sqrt{7} i}{2}\\
z _{1} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{7} i}{2}}\
z _{2} = -\sqrt{\frac{3-\sqrt{7} i}{2}}\
z _{3} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{7} i}{2}}\
z _{4} = -\sqrt{\frac{3+\sqrt{7} i}{2}}}\)
Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze to rozwiązałem
Równanie dwukwadratowe
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równanie dwukwadratowe
Rozwiązania nie widzę (jeśli masz na myśli te pierwiastki, które sobie zapisałeś, to nie stanowią one odpowiedzi; poza tym nie wiem, skąd sobie wziąłeś te "rozwiązania", w których masz minusy przed pierwiastkami?...) Pamiętaj, że to mimo wszystko są liczby zespolone.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
M Ciesielski
- Użytkownik
- Posty: 2524
- Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 302 razy
Równanie dwukwadratowe
1. Wychodzą dwa pierwiastki z delty, co wypada zapisać i wybrać jeden z nich do dalszych obliczeń (nie ma znaczenia który, różnią się tylko znakiem).
2. Doprowadź te pierwiastki jeszcze do końca np tak:
\(\displaystyle{ a + bi = \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}i}{2}} \\ (a^2 - b^2) + 2abi = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} \\ \begin{cases}a^2 - b^2 = \frac{3}{2} \\ 2ab = -\frac{\sqrt{7}}{2} \end{cases}}\)
Należy pamiętać, że teraz już \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\)
W ten sposób dla każdego z nich i to będzie koniec.
Pozdrawiam.
2. Doprowadź te pierwiastki jeszcze do końca np tak:
\(\displaystyle{ a + bi = \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}i}{2}} \\ (a^2 - b^2) + 2abi = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} \\ \begin{cases}a^2 - b^2 = \frac{3}{2} \\ 2ab = -\frac{\sqrt{7}}{2} \end{cases}}\)
Należy pamiętać, że teraz już \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\)
W ten sposób dla każdego z nich i to będzie koniec.
Pozdrawiam.
-
persch
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 9 wrz 2007, o 15:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 2 razy
Równanie dwukwadratowe
Czyli tak... z delty wychodzą dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}i}{2}}; \sqrt{\frac{3+\sqrt{7}i}{2}}\\}\)
Więc biorę:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}i}{2}} \\}\)
i "przekształcam" sposobem jaki pokazałeś powyżej.
Po rozwiązaniu układu otrzymuje liczby pary liczby a i b.
Czyli mam już dwa rozwiązania :
\(\displaystyle{ Z _{1}=- \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{1}{2}i}\)
\(\displaystyle{ Z _{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}i}\)
A pozostałe dwa nie otrzymuje "przekształcając" ten drugi pierwiastek z delty, tylko wiem, że są to liczby:
\(\displaystyle{ Z _{3}=- \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}i}\)
\(\displaystyle{ Z _{4}=\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{1}{2}i}\)
I tak jest zawsze ?
Pozdrawiam i dziękuję za wszystkie odpowiedzi.
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}i}{2}}; \sqrt{\frac{3+\sqrt{7}i}{2}}\\}\)
Więc biorę:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}i}{2}} \\}\)
i "przekształcam" sposobem jaki pokazałeś powyżej.
Po rozwiązaniu układu otrzymuje liczby pary liczby a i b.
Czyli mam już dwa rozwiązania :
\(\displaystyle{ Z _{1}=- \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{1}{2}i}\)
\(\displaystyle{ Z _{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}i}\)
A pozostałe dwa nie otrzymuje "przekształcając" ten drugi pierwiastek z delty, tylko wiem, że są to liczby:
\(\displaystyle{ Z _{3}=- \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}i}\)
\(\displaystyle{ Z _{4}=\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{1}{2}i}\)
I tak jest zawsze ?
Pozdrawiam i dziękuję za wszystkie odpowiedzi.
-
M Ciesielski
- Użytkownik
- Posty: 2524
- Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 302 razy
Równanie dwukwadratowe
Chodzi mi o to, że liczba -7 posiada dwa pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ \pm \sqrt{7}i}\)
ale tak jak napisałem wcześniej, który weźmiesz to obojętnie, gdyż dalej raz ten pierwiastek odejmujesz a raz dodajesz. Nam kazano to pisać, dlatego tak mówię.
To co napisałem dalej dotyczy przekształcenia tych czterech wyników do ładniejszej postaci, w liczbach zespolonych nie zostawiamy takich brzydkich dużych pierwiastków, gdyz można je wyznaczyć.
\(\displaystyle{ \pm \sqrt{7}i}\)
ale tak jak napisałem wcześniej, który weźmiesz to obojętnie, gdyż dalej raz ten pierwiastek odejmujesz a raz dodajesz. Nam kazano to pisać, dlatego tak mówię.
To co napisałem dalej dotyczy przekształcenia tych czterech wyników do ładniejszej postaci, w liczbach zespolonych nie zostawiamy takich brzydkich dużych pierwiastków, gdyz można je wyznaczyć.