Przedtawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej

leo87 · Post autor: **leo87** » 6 sty 2010, o 22:19

\(\displaystyle{ z=7-7 \sqrt{3}i}\)

proszę o rozwiązanie, z góry dzięki

Dudas · Post autor: **Dudas** » 6 sty 2010, o 22:22

\(\displaystyle{ z = |z| (cos(\theta) + isin(\theta))}\)
Potrzebne wartości liczysz z :
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt {7^2 + (-7 \sqrt{3})^2} \\
\theta = arctg \frac {7 \sqrt{3}}{7}}\)

leo87 · Post autor: **leo87** » 6 sty 2010, o 22:32

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt {7^2 + (-7 \sqrt{3})^2}}\)

czyli \(\displaystyle{ |z|= 7^{2}+(-7 \sqrt{3})^{2}=49-147=-98}\)

czy to ma być pod pierwiastkiem wszystko?

i jak wstawić taką liczbę?

Dudas · Post autor: **Dudas** » 6 sty 2010, o 22:34

Jest całość pod pierwiastkiem, oczywiście minus zmieni się w plus przez potęgowanie więc :
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt {47 +141} = 2\sqrt {47}}\)

leo87 · Post autor: **leo87** » 6 sty 2010, o 22:40

\(\displaystyle{ \theta = arctg \frac {7 \sqrt{3}}{7}}\)

no dobra, ale teraz co z tym? co oznacza te arctg? bo ja nie miałem czegoś takiego... :/ jak wyznaczyć ten kąt?

makan · Post autor: **makan** » 6 sty 2010, o 22:40

Raczej: \(\displaystyle{ |z| = \sqrt {7^2 +7^2\cdot 3} = 7 \sqrt{4} = 14}\)

leo87 · Post autor: **leo87** » 6 sty 2010, o 22:51

a ten kąt
\(\displaystyle{ \theta = arctg \frac {7 \sqrt{3}}{7}}\)
to nie poprostu \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) ?

Dudas · Post autor: **Dudas** » 6 sty 2010, o 22:52

Rzeczywiście zrobiłem ogromny błąd w potęgowaniu i dodawania i nie uprościłem tego tak jak Ty to zrobiłeś
\(\displaystyle{ arctg \frac {- 7\sqrt {3}}{7} = arctg -\sqrt {3} = \frac {-\pi}{3}}\)
Ważne jest też zorientowanie się w której ćwiartce jesteśmy aby dobrze wyznaczyć kąt

Arctg to taka funkcja że :
\(\displaystyle{ Arctg y = x \Leftrightarrow tg(x) = y}\)
Zwraca kąt którego tangens daje argument funkcji arctg, można do tego wykorzystać tablice/kalkulator

leo87 · Post autor: **leo87** » 6 sty 2010, o 23:01

hmm....ok
czyli jesteśmy w ćwiartce I ? skoro mamy \(\displaystyle{ \frac {-\pi}{3}}\)
czy jak to się patrzy? sory za takie pytania ale szkołe miałem 4 lata temu i nie pamiętam pewnych rzeczy, a na studiach to trzeba wiedzieć stety :]

aaa...i czemu ten minus? wcześniej go nie było?

no i załóżmy, że to jest dobrze, więc
z = 14(cos(\(\displaystyle{ \frac {-\pi}{3}}\)) + isin(\(\displaystyle{ \frac {-\pi}{3}}\)))
więc
z = 14(cos(\(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)) + isin(\(\displaystyle{ \frac { \sqrt{3}}{2}}\)))
tak?

Dudas · Post autor: **Dudas** » 6 sty 2010, o 23:10

Minus się pojawił bo na początku zrobiłem błąd który szybko poprawiłem .
Jesteśmy w IV ćwiartce bo \(\displaystyle{ \frac {-\pi}{3} = 2\pi + \frac {-\pi}{3} = \frac {5\pi}{3}}\)
I postać trygonometryczna wtedy wygląda :
\(\displaystyle{ z= 14(cos(\frac {-\pi}{3}) +isin (\frac {-\pi}{3}))}\)
I nie podstawiasz dalej wartości cos i sin tylko zostawia)sz tak jak napisałem

leo87 · Post autor: **leo87** » 6 sty 2010, o 23:15

aha
rozumiem no to dziękuję ci bardzo w takim razie i pozdrowionka