Witam!
Otóż chciałbym narysować wykresy dla pewnych funkcji. Na osi X znajduje się omega, zaś na osi Y jest \(\displaystyle{ |K(j\omega)| = K(\omega)}\). Przy czym: \(\displaystyle{ Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j \frac{1}{\omega C} = -jX_C}\) oraz \(\displaystyle{ Z_L = j\omega L}\).
Przykład pierwszy - rozwiązany
\(\displaystyle{ Z_1 = \frac{jX_L \cdot (-jX_{C2})}{jX_L - jX_{C2}} = \frac{X_L \cdot X_{C2}}{j(X_L - X_{C2})}}\)
\(\displaystyle{ K(j \omega) = \frac{\frac{X_L \cdot X_{C2}}{j(X_L - X_{C2})}}{-jX_{C1} + \frac{X_L \cdot X_{C2}}{j(X_L - X_{C2})}} = \frac{X_L \cdot X_{C2}}{X_{C2} \cdot X_L - X_{C1} \cdot X_{C2} + X_L \cdot X_{C2}} = \frac{\omega L \cdot \frac{1}{\omega C_2}}{\frac{1}{\omega C_1} \cdot \omega L - \frac{1}{\omega C_1} \cdot \frac{1}{\omega C_2} + \omega L \cdot \frac{1}{\omega C_2}} \cdot \frac{\omega ^2 C_1 C_2}{\omega ^2 C_1 C_2} = \frac{\frac{L}{C_2} \cdot \omega ^2 C_1 C_2}{\frac{\omega ^2 C_1 C_2}{\omega C_1} \cdot \omega L - 1 + \frac{L}{C_2} \cdot \omega ^2 C_1 C_2} = \frac{\omega ^2 L C_1}{\omega ^2 L C_2 - 1 + \omega ^2 L C_1} = \frac{\omega ^2 L C_1}{\omega ^2 L (C_1 + C+2) - 1}}\)
Doszedłem do takiej formy, z której można obliczyć asymptoty, dla których jest przerwa w dziedzinie, ponieważ np. z lewej i prawej strony funkcja dąży do nieskończoności w tej asymptocie.
\(\displaystyle{ \omega ^2 L (C_1 + C_2) = 1}\)
\(\displaystyle{ \omega ^2 = \frac{1}{L(C_1 + C_2)}}\)
\(\displaystyle{ \omega = \frac{1}{\sqrt{L(C_1 + C_2)}}}\)
Czyli znamy omegę, dla której mamy asymptotę. Dla zera obliczenie jest też proste. Gorzej z omegą równą nieskończoność, tutaj trzeba sobie pomóc dzieląc licznik i mianownik przez omegę.
\(\displaystyle{ \frac{LC_1}{L(C_1 + C_2) - \frac{1}{\omega ^2}}}\)
Można też policzyć inne punkty charakterystyczne dla wykresu.
\(\displaystyle{ \frac{\omega ^2 L C_1}{\omega ^2 L (C_1 + C_2) - 1} = 1}\)
Przykład drugi - nie potrafię rozwiązać
\(\displaystyle{ Z_1 = jX_L - jX_C}\)
\(\displaystyle{ K = \frac{R}{jX_L - jX_C + R} = \frac{R}{j(\omegaL - \frac{1}{\omega C}) + R} = \frac{R}{j(\frac{\omega L \cdot \omega C}{\omega C} - \frac{1}{\omega C}) + R} = \frac{R}{j(\frac{\omega ^2 LC - 1}{\omega C}) + R} = \frac{R}{\frac{j(\omega ^2 LC - 1)}{\omega C} + \frac{R \omega C}{\omega C}} = \frac{R}{\frac{j(\omega ^2 LC - 1) + R \omega C}{\omega C}} = R \cdot \frac{\omega C}{j(\omega ^2 CL - 1) + R \omega C} = \frac{\omega R C}{j(\omega ^2 CL - 1) + \omega RC}}\)
I nie potrafię się pozbyć tego j.
Trzeci przykład - nierozwiązany
\(\displaystyle{ Z_2 = \frac{-jX_{C2} \cdot jX_{L2}}{-jX_{C2} + jX_{L2}}}\), \(\displaystyle{ Z_1 = -jX_{C1} + jX_{L1}}\)
\(\displaystyle{ K(j \omega) = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2}}\)
\(\displaystyle{ Z_2 = \frac{X_{C2} \cdot X_{LC}}{j(-X_{C2} + X_{L2})} = -j \frac{X_{C2} \cdoit X_{L2}}{-X_{C2} + X_{L2}}}\)
I nie bardzo mam pomysł, jak to dalej przekształcać.
Pozdrawiam!
wykres K(jw)
wykres K(jw)
Widzę teorię sterowania ?
jeżeli się nie mylę to algorytm jest taki:
liczysz \(\displaystyle{ K(j \omega)}\) tak żebyś miał część rzeczywistą i urojoną oddzielnie
jak masz \(\displaystyle{ j}\) w mianowniku to mnożysz przez sprzężenie
\(\displaystyle{ K(j \omega)=A+jB}\)
liczysz moduł: \(\displaystyle{ \left| K(j \omega) \right| = \sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)
i jak masz moduł to robisz tabelkę tak jak to było w liceum. Niestety na literkach, najważniejsze jest:
\(\displaystyle{ \omega =0}\) i \(\displaystyle{ \omega = \infty}\) i jeden punkt jak ci się np: zeruje licznik
jeżeli się nie mylę to algorytm jest taki:
liczysz \(\displaystyle{ K(j \omega)}\) tak żebyś miał część rzeczywistą i urojoną oddzielnie
jak masz \(\displaystyle{ j}\) w mianowniku to mnożysz przez sprzężenie
\(\displaystyle{ K(j \omega)=A+jB}\)
liczysz moduł: \(\displaystyle{ \left| K(j \omega) \right| = \sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)
i jak masz moduł to robisz tabelkę tak jak to było w liceum. Niestety na literkach, najważniejsze jest:
\(\displaystyle{ \omega =0}\) i \(\displaystyle{ \omega = \infty}\) i jeden punkt jak ci się np: zeruje licznik