Witam, proszę o pomoc z zadaniem:
Zad. Rozwiąż równanie w dziedzinie zespolonej:
\(\displaystyle{ z^{3}=(1+i) ^{9}}\)
Pozdrawiam i dziekuje za pomoc.
Rozwiąż równanie w dziedzinie zespolonej
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Rozwiąż równanie w dziedzinie zespolonej
\(\displaystyle{ z^{3}=(1+i)^{9}}\)
\(\displaystyle{ z^{3}-(1+i)^{9}=0}\)
\(\displaystyle{ (z-(1+i)^{3})(z^{2}+(1+i)^{3}z+(1+i)^{6})=0}\)
Znajdujesz \(\displaystyle{ (1+i)^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ (1+i)^{6}}\):
\(\displaystyle{ (1+i)^{3}=(\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})^{3}=2\sqrt{2}(cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4})=-2+2i}\)
\(\displaystyle{ (1+i)^{6}=(\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})^{6}=8(cos\frac{6\pi}{4}+isin\frac{6\pi}{4})=-8i}\)
Równanie przybiera postać:
\(\displaystyle{ (z+2-2i)(z^{2}+(-2+2i)z-8i)=0}\)
Wnioskujemy stąd, że:
\(\displaystyle{ z+2-2i=0 \vee z^{2}+(-2+2i)z-8i=0}\)
W pierwszym przypadku mamy \(\displaystyle{ z_{0}=-2+2i}\), a w drugim:
\(\displaystyle{ z^{2}+(-2+2i)z-8i=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(-2+2i)^{2}-4 \cdot (-8i)=24i}\)
Przykładowym pierwiastkiem z delty jest \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i}\) (możesz go wyznaczyć, zapisując deltę w postaci \(\displaystyle{ 24(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})}\) i korzystając z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej).
Wynika stąd, że
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{2-2i+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{2-2i-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}i}{2}}\)
(dolicz sobie do końca).
\(\displaystyle{ z^{3}-(1+i)^{9}=0}\)
\(\displaystyle{ (z-(1+i)^{3})(z^{2}+(1+i)^{3}z+(1+i)^{6})=0}\)
Znajdujesz \(\displaystyle{ (1+i)^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ (1+i)^{6}}\):
\(\displaystyle{ (1+i)^{3}=(\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})^{3}=2\sqrt{2}(cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4})=-2+2i}\)
\(\displaystyle{ (1+i)^{6}=(\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})^{6}=8(cos\frac{6\pi}{4}+isin\frac{6\pi}{4})=-8i}\)
Równanie przybiera postać:
\(\displaystyle{ (z+2-2i)(z^{2}+(-2+2i)z-8i)=0}\)
Wnioskujemy stąd, że:
\(\displaystyle{ z+2-2i=0 \vee z^{2}+(-2+2i)z-8i=0}\)
W pierwszym przypadku mamy \(\displaystyle{ z_{0}=-2+2i}\), a w drugim:
\(\displaystyle{ z^{2}+(-2+2i)z-8i=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(-2+2i)^{2}-4 \cdot (-8i)=24i}\)
Przykładowym pierwiastkiem z delty jest \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i}\) (możesz go wyznaczyć, zapisując deltę w postaci \(\displaystyle{ 24(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})}\) i korzystając z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej).
Wynika stąd, że
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{2-2i+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{2-2i-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}i}{2}}\)
(dolicz sobie do końca).