równanie kwadratowe w dziedzinie zespolonej

[marcin5063]

Witam. Mam mały problemik z zadankiem, nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić...

\(\displaystyle{ z^{2} +3(1+i)\cdot z+5i=0}\)

prosze o pomoc.... :(:( wiem ze tutaj jakos dlete trzeba uzyc czyli : \(\displaystyle{ \Delta= b^{2}-4ac}\) ;/;/

[zati61]

\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \quad z_{2}= \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
Wzór na delte napisałeś więc podstaw. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ i^2= -1}\)
Jedynym problemem będzie \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\)
Będzie ona postaci: \(\displaystyle{ \sqrt{a+bi}}\)- a więc do obliczenia, napewno miałeś przykłady rozwiazania np \(\displaystyle{ \sqrt{1+i}}\)

[marcin5063]

no dobra robie w ten sposób:
\(\displaystyle{ delta=[3(1+i)] ^{2} - 4 * 1 + 5}\) i jak obliczyć to \(\displaystyle{ [3(1+i)] ^{2}}\) ?? ;/;/ bo jakies głupoty mi wychodzą... czy to bedzie tak : \(\displaystyle{ 9+6i+9i ^{2}}\)?? czy jakos inaczej ;/;/ przepraszam was ale matma nigdy nie była moja fascynacją...;/

[zati61]

Kod: Zaznacz cały

Delta

\(\displaystyle{ \Delta= [3(1+i)]^2-4 \cdot 5i= 9(1+i)^2-20i=9+18i+9i^2-20i}\)

[marcin5063]

no ok wszystko ładnie pięknie ale znowu do pewnego momentu gdyż z tego co napisał kolega wyżej to \(\displaystyle{ \Delta = 0-2i}\) no ale trzeba teraz wyciągnąć pierwiastek z tej liczy zespolonej. no i na wykładzie miałem taka metodę:
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} -2ixy

\begin{cases} x ^{2}+y ^{2}= 0 \\ 2xy = -2\end{cases}


\begin{cases} x ^{2}+y ^{2}= 0 \\ y = - \frac{1}{x} \end{cases}


x ^{2} - (- \frac{1}{x} ) ^{2} = 0
x ^{2} - \frac{1}{x ^{2} } = 0
x^{4}- 1 -0x ^{2} = 0

x ^{2}= t

t ^{2}-t - 1 = 0
\Delta= 0-4*(-1)
\Delta= 4}\)

To tak ma wyjść?? no i potem oczywiście liczymy pierwiastek \(\displaystyle{ \Delta}\) i x1 i x1.... ;/;/ Tak??

[zati61]

no prawie dobrze choć lepiej pisz(poczatek) tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{-2i}= x+yi\\
-2i= (x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi \Rightarrow \begin{cases} x^2-y^2=0 \\ 2xy= -2 \end{cases}\\
\begin{cases} x^2-y^2=0 \\ y= \frac{-1}{x} \end{cases}\\}\)
pominmy znak ukladu już:
\(\displaystyle{ x^2- \frac{1}{x^2}=0\\
(x^2-1)(x^2+1)=0(x \neq 0)\\
x= \pm 1(x \in R) \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ y= -1 \end{cases} \vee \begin{cases} x= -1 \\ y=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= 1-i \vee \sqrt{\Delta}= i-1}\) 2 rozwiązania nie powinny dziwić. Jeśli chciałbyś więcej wiedzieć o tej metodzie to zapraszam do artykułu Rogal'a Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonych algebraicznie

[marcin5063]

wielkie dzięki.. hehe ale wiesz uczyli mnie tak i wymagaja odemnie takiej metody... więc wiesz...