z^8=(1+2j)^4

[qq]

Jak zrobic zadanie: narysowac zbior:

\(\displaystyle{ \{ z C:z^4 = (1 + 2j)^8 \}}\)

z gory dzieki

[Rogal]

Jak dla mnie, to jest równoznaczne z liczbą zespoloną z = (1+2j)^2, czyli obrazem tego zbioru na płaszczyźnie zespolonej będzie odcinek.
Pewno się mylę, bo coś za proste to.

[sir_matin]

Rozwiazaniem rownania \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{(1+2i)^{8}}}\) beda pierwiastki stopnia \(\displaystyle{ n\geq 3}\) z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z\neq 0}\) tworzace wierzcholki n kata foremnego wpisanego w okrag o srodku w poczatku ukladu i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{|z|}.}\)
Latwo zauwazyc iz jeden z nich to \(\displaystyle{ w_{1}=(1+2i)^{2}=-3+4i}\) , kolejne pierwiastki otrzymamy mnozac liczbe \(\displaystyle{ w_{1}}\) przez i, \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\) oraz \(\displaystyle{ i^{3}=-i}\) , co odpowiada obrotom wokol poczatku ukladu o katy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2},\ \pi \ oraz\ \frac{3}{2}\pi.}\)
Zatem \(\displaystyle{ w_{1}=-3+4i,\ w_{2}=-4-3i,\ w_{3}=3-4i,\ w_{4}=4+3i}\).

[qq]

Rozwiazaniem rownania \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{(1+2i)^{8}}}\) beda pierwiastki stopnia \(\displaystyle{ n\geq 3}\) z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z\neq 0}\)

super rozwiazane!!

tylko ze napisales tam ze beda to pierwiastki (4-ry) z \(\displaystyle{ z\neq 0}\) ale chyba miales na mysli \(\displaystyle{ (1+2i)^{8}}\)??

[sir_matin]

hmmmmmmm, ten zapis to ogolna zasada dla pierwiastkowania liczb zespolonych, oczywiscie u nas liczba z to \(\displaystyle{ (1+2i)^{8}}\) oczywiscie pierwiastki liczby z mozesz policzyc korzystajac ze wzoru de Moivre'a ale ten sposob wydaje mi sie o wiele ladniejszy i mniej skomplikowany