wzór de Moivre'a

moroi · Post autor: **moroi** » 26 gru 2009, o 18:56

korzystając ze wzoru Moivre'a wykazać, że

\(\displaystyle{ sinx+sin2x+...+sinnx=\frac{sin\frac{1}{2}(n+1)sin\frac{1}{2}nx}{sin\frac{1}{2}x}}\)

\(\displaystyle{ cosx+cos2x+...+cosnx=\frac{cos\frac{1}{2}(n+1)sin\frac{1}{2}nx}{sin\frac{1}{2}x}}\)

kompletnie nie wiem jak się nawet zabrać za to zadanie więc proszę o pomoc w jego rozwiązaniu

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 26 gru 2009, o 19:01

Zauważ, że oba te wzoru są to części rzeczywiste lub urojone pewnego zespolonego ciągu geometrycznego.

moroi · Post autor: **moroi** » 28 gru 2009, o 00:43

mimo to nie wiem jak zrobić to zadanie wykładowca pokazał nam zastosowanie tych wzorów na prostym przykładzie a to jest dla mnie jakiś kosmos

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 28 gru 2009, o 09:31

\(\displaystyle{ sinx+sin2x+...+sinnx=Im(z+z^2+...+z^{n})}\) i teraz używasz wzoru na sumę ciągu geometrycznego i oddzielasz część urojoną.

Karka · Post autor: **Karka** » 13 maja 2010, o 10:52

mnie wyszlo \(\displaystyle{ \frac{z(z ^{n}-1)}{z-1}}\). I z tego trzeba wziasc urojoną część? zamienilam na \(\displaystyle{ \frac{(cosx+isinx)(1-cosnx-isinnx)}{1-cosx-sinx}}\). Co dalej? Jak mozna to zapisac jakoś prościej żeby oddzielić ta częśc urojoną?