Postać trygonometryczna

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
parzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 10 cze 2006, o 23:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 5 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: parzol »

Witam.

Jak przedstawić w postaci trygonometrycznej zadanie:

z=1+cosα - isinα , α=


PS. α = ALFA

Ostatnio zmieniony 11 cze 2006, o 15:24 przez parzol, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Grzegorz Getka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 19 mar 2006, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WEiTI PW
Pomógł: 4 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: Grzegorz Getka »

Postać trygonometryczna:

\(\displaystyle{ \Large z=r(cos\phi+isin\phi)}\)

Stąd widać, że musimy znaleźć moduł i argument.

Moduł:

\(\displaystyle{ \Large r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(1+cos\phi)^{2}+sin^{2}\phi}=\sqrt{2(1+cos\phi)}=}\)

Teraz mała sztuczka:

\(\displaystyle{ \Large \sqrt{4(\frac{1+cos\phi}{2}) =}\)

No i już coś widać:

\(\displaystyle{ \Large 2cos (\frac {\phi}{2})}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \Large r=2cos (\frac {\alpha}{2})}\)
parzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 10 cze 2006, o 23:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 5 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: parzol »

OK. Ale jak wyliczyć ten argument ??
Awatar użytkownika
Grzegorz Getka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 19 mar 2006, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WEiTI PW
Pomógł: 4 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: Grzegorz Getka »

\(\displaystyle{ \Large cos\alpha=\frac{b}{r}=\frac{1+cos\alpha}{2cos(\frac{\alpha}{2})}=}\)

\(\displaystyle{ \Large \frac {2(\frac{1+cos\alpha}{2})}{2\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}}=\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}}\)

\(\displaystyle{ \Large cos\alpha=\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}}\)

To jest spełnione tylko w przypadku, gdy: \(\displaystyle{ \Large =\frac{\pi}{2}}\) (bo w tym punkcie funkcja cosinus przyjmuje wartość zero).

Ostateczny wynik:

\(\displaystyle{ \Large z=[2cos(\frac{\pi}{4})](cos(\frac{\pi}{2})+isin\frac{\pi}{2})=\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{2})+isin\frac{\pi}{2})}\)
parzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 10 cze 2006, o 23:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 5 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: parzol »

Ale skąd wiadomo ze ALFA = PI/2 ??: Czemu to ma sie zerować jak mówisz
Awatar użytkownika
Grzegorz Getka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 19 mar 2006, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WEiTI PW
Pomógł: 4 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: Grzegorz Getka »

Proponuje sobie narysować wykres funkcji cosinus i zobaczyć jaką przyjmuje wartość dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
Awatar użytkownika
juzef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 890
Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Pomógł: 66 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: juzef »

Moduł policzony dobrze, choć należałoby wspomnieć w którym momencie korzystasz z założenia \(\displaystyle{ \alpha }\). Reszta do bani. Zauważ, że \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest argumentem liczby z, tylko jakąś z góry ustaloną liczbą.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Postać trygonometryczna

Post autor: Calasilyar »

\(\displaystyle{ z=|2cos(\alpha / 2) | (cos (\alpha / 2) +i sin (\alpha / 2) )}\) ?
ODPOWIEDZ