Proszę o pomoc z zadaniem:
korzystając z wzoru moivre'a na pierwiastkowanie wyznacz \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8}}\) i \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{8}}\).
wzór moivre
wzór moivre
Ostatnio zmieniony 13 gru 2009, o 17:40 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
wzór moivre
\(\displaystyle{ \sqrt{cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}}=cos\frac{\pi}{8}+isin\frac{\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}=(cos\frac{\pi}{8}+isin\frac{\pi}{8})^{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}=(cos^{2}\frac{\pi}{8}-sin^{2}\frac{\pi}{8})+2isin\frac{\pi}{8}cos\frac{\pi}{8}}\)
Dwie liczby zespolone są równe, jeśli mają równe części rzeczywiste i równe części urojone, zatem:
\(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{4}=cos^{2}\frac{\pi}{8}-sin^{2}\frac{\pi}{8}}\)
Zamiast \(\displaystyle{ cos^{2}\frac{\pi}{8}}\) podstawiasz \(\displaystyle{ 1-sin^{2}\frac{\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}=1-2sin^{2}\frac{\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\frac{\pi}{8}= \frac{-\sqrt{2}+2}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{-\sqrt{2}+2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)
To jest kąt pierwszej ćwiartki, więc teraz możesz wyliczyć cosinus ze wzoru \(\displaystyle{ cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}}\)
\(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}=(cos\frac{\pi}{8}+isin\frac{\pi}{8})^{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}=(cos^{2}\frac{\pi}{8}-sin^{2}\frac{\pi}{8})+2isin\frac{\pi}{8}cos\frac{\pi}{8}}\)
Dwie liczby zespolone są równe, jeśli mają równe części rzeczywiste i równe części urojone, zatem:
\(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{4}=cos^{2}\frac{\pi}{8}-sin^{2}\frac{\pi}{8}}\)
Zamiast \(\displaystyle{ cos^{2}\frac{\pi}{8}}\) podstawiasz \(\displaystyle{ 1-sin^{2}\frac{\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}=1-2sin^{2}\frac{\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\frac{\pi}{8}= \frac{-\sqrt{2}+2}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{-\sqrt{2}+2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)
To jest kąt pierwszej ćwiartki, więc teraz możesz wyliczyć cosinus ze wzoru \(\displaystyle{ cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}}\)