Które spośród pierwiastków z 1 stopnia
a) 3
b) 12
c) 16
są pierwiastkami pierwotnymi tegoż stopnia z 1?
pierwiastki pierwotne liczb zespolonych
-
Przemas O'Black
- Użytkownik
- Posty: 744
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 58 razy
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
pierwiastki pierwotne liczb zespolonych
Pierwiastek \(\displaystyle{ p}\) z \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwotny wtedy, gdy każdy inny pierwiastek z \(\displaystyle{ 1}\) można otrzymać przez potęgowanie pierwiastka \(\displaystyle{ p}\). Ze względu na definicję potęgowania liczb zespolonych, problem sprowadza się do odpowiedzi na pytanie: jakie to liczby, których wielokrotności przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ n}\) dają wszystkie możliwe reszty z tego dzielenia.
Zatem: jeśli pierwiastkom stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\) nadasz kolejne numery od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1}\) (w kolejności ich obliczania, tzn. wzrastania ich argumentu głównego*), to pierwotne będą te których numer jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ n}\).
Np dla \(\displaystyle{ n=3}\) masz dwa pierwiastki pierwotne - \(\displaystyle{ e^{\frac{2\pi}{3}i}}\) oraz \(\displaystyle{ e^{\frac{2\pi}{3}i}}\).
*Przyjmując, że argument główny to ten argument, który należy do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\).
Pozdrawiam.
Zatem: jeśli pierwiastkom stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\) nadasz kolejne numery od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1}\) (w kolejności ich obliczania, tzn. wzrastania ich argumentu głównego*), to pierwotne będą te których numer jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ n}\).
Np dla \(\displaystyle{ n=3}\) masz dwa pierwiastki pierwotne - \(\displaystyle{ e^{\frac{2\pi}{3}i}}\) oraz \(\displaystyle{ e^{\frac{2\pi}{3}i}}\).
*Przyjmując, że argument główny to ten argument, który należy do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\).
Pozdrawiam.