Rozklad wielomianu

halker · Post autor: **halker** » 13 gru 2009, o 00:36

Podany wielomian rzeczywisty rozlozyc na rzeczywiste czynniki proste.

\(\displaystyle{ x^{2007}+x^{2006}+...+x+1}\)

Pierwszą myslą, jaka mi przyszla do glowy, to aby skupić się na wyrazie wolnym. Pierwiastkami rzeczywsitymi mogą byc tylko \(\displaystyle{ 1 \vee -1}\). Zespolonymi bedą \(\displaystyle{ \sqrt[2007]{1}}\), ale chyba to mi sie do niczego nie przyda przy takim dużym stopniu:] Z której strony to ugryźć? :] Proszę o pomoc.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2009, o 02:22

Skorzystaj z tego, że dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\) masz

\(\displaystyle{ x^{2007}+x^{2006}+..+x+1=\frac{x^{2008}-1}{x-1}}\)

Pozdrawiam.

halker · Post autor: **halker** » 13 gru 2009, o 18:47

Troche dalej nie rozumie do czego zmierzasz. W ten sposob chcesz wyeliminowac \(\displaystyle{ x _{1} =1}\) z pierwiastkow tego i zostawic tylko \(\displaystyle{ x _{2} =-1}\) ?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2009, o 18:51

Niezupełnie. Zmierzam do tego, że równanie, które masz rozwiązać jest równoważne (w sensie takim, że ma te same rozwiązania) z

\(\displaystyle{ x^{2008}-1=0\ \wedge\ x\neq 1}\),

a zatem zespolonymi rozwiązaniami są.....

i z tego dla rozwiązań rzeczywistych jest wniosek taki, że....

Pozdrawiam.

halker · Post autor: **halker** » 13 gru 2009, o 19:03

\(\displaystyle{ x^{2008}=1 dla x _{1} =1 \vee x _{2}=-1 gdzie x \in R}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \notin D}\)
Chyba nie musze rozpatrywac pierwiastkow zespolonych, bo w poleceniu jest napisane, ze mam ten wielomian rozlozyc na czynniki rzeczywiste proste. Czyli w sumie jak zapisac ten rozklad?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2009, o 19:19

Chwileczkę. Przecież wielomian nad R rozkłada się na czynniki liniowe lub kwadratowe nierozkładalne, prawda? Musisz więc rozpatrywać liczby zespolone, żeby dojść do tego, jak wyglądają te nierozkładalne czynniki rzeczywiste. Znajdź wzór na rozwiązania zespolone, to zobaczysz jak z tego rzeczywiste zrobić.

Pozdrawiam.

halker · Post autor: **halker** » 13 gru 2009, o 19:47

\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)^{k_1}*(x-x_2)^{k_2}...(x-x_r)^{k_r} * (x^2+p_1x+q_1)^{l_1}*(x^2+p_sx+q_2)^{l_2}...(x^2+p_sx+q_s)^{l_s}}\)
Wzor jest, tylko ze ja dalej nie rozumie, przeciez nie bede wyznaczal wszystich pierwiastkow zespolonych tego wielomianu ktore pokrywaja sie z pierwiastkami \(\displaystyle{ \sqrt[2007]{1}}\) i jest ich tyle, jaki jest stopien pierwiastka. Na czym polega haczyk tego zadania, chyba o to mi teraz chodzi :]

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2009, o 19:53

Po pierwsze, na pierwiastki zespolone masz wzór, nieważne ile ich jest.

Po drugie, te pierwiastki są parami sprzężone, a wtedy

\(\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z})=(x-re(z)-im(z)i)(x-re(z)+im(z)i)=(x-re(z))^2+im(z)^2}\)

co jest ewidentnie wielomianem rzeczywistym (i można to jeszcze trochę uprościć).

Zatem trzeba tylko odkryć które są sprzężone ze sobą i ostateczny wzór można pisać.

Pozdrawiam.

halker · Post autor: **halker** » 13 gru 2009, o 20:04

Nie wiem o co chodzi, poddaje sie, teorie tez znam.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2009, o 20:25

Musisz wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone tego równania - czyli pierwiastki stopnia 2008 z 1.
Stąd masz rozkład wielomianu \(\displaystyle{ x^{2008}-1}\) na czynniki liniowe nad C. Z tego rozkładu musisz usunąć (x-1) (bo z założenia x jest różny od 1).

Czynnik x+1 trzeba zapisać osobno, a z pozostałych trzeba połączyć w pary te czynniki, w których masz pierwiastki sprzężone - i dostajesz z tego zapis w postaci \(\displaystyle{ (x+1)\prod (x^2+a_ix+b_i)}\) (współczynniki trzeba obliczyć i zakres też trzeba wyznaczyć).

Pozdrawiam.