Rozklad wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 18:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :]
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozklad wielomianu
Podany wielomian rzeczywisty rozlozyc na rzeczywiste czynniki proste.
\(\displaystyle{ x^{2007}+x^{2006}+...+x+1}\)
Pierwszą myslą, jaka mi przyszla do glowy, to aby skupić się na wyrazie wolnym. Pierwiastkami rzeczywsitymi mogą byc tylko \(\displaystyle{ 1 \vee -1}\). Zespolonymi bedą \(\displaystyle{ \sqrt[2007]{1}}\), ale chyba to mi sie do niczego nie przyda przy takim dużym stopniu:] Z której strony to ugryźć? :] Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ x^{2007}+x^{2006}+...+x+1}\)
Pierwszą myslą, jaka mi przyszla do glowy, to aby skupić się na wyrazie wolnym. Pierwiastkami rzeczywsitymi mogą byc tylko \(\displaystyle{ 1 \vee -1}\). Zespolonymi bedą \(\displaystyle{ \sqrt[2007]{1}}\), ale chyba to mi sie do niczego nie przyda przy takim dużym stopniu:] Z której strony to ugryźć? :] Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 13 gru 2009, o 18:40 przez halker, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Rozklad wielomianu
Skorzystaj z tego, że dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\) masz
\(\displaystyle{ x^{2007}+x^{2006}+..+x+1=\frac{x^{2008}-1}{x-1}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x^{2007}+x^{2006}+..+x+1=\frac{x^{2008}-1}{x-1}}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 18:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :]
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozklad wielomianu
Troche dalej nie rozumie do czego zmierzasz. W ten sposob chcesz wyeliminowac \(\displaystyle{ x _{1} =1}\) z pierwiastkow tego i zostawic tylko \(\displaystyle{ x _{2} =-1}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Rozklad wielomianu
Niezupełnie. Zmierzam do tego, że równanie, które masz rozwiązać jest równoważne (w sensie takim, że ma te same rozwiązania) z
\(\displaystyle{ x^{2008}-1=0\ \wedge\ x\neq 1}\),
a zatem zespolonymi rozwiązaniami są.....
i z tego dla rozwiązań rzeczywistych jest wniosek taki, że....
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x^{2008}-1=0\ \wedge\ x\neq 1}\),
a zatem zespolonymi rozwiązaniami są.....
i z tego dla rozwiązań rzeczywistych jest wniosek taki, że....
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 18:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :]
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozklad wielomianu
\(\displaystyle{ x^{2008}=1 dla x _{1} =1 \vee x _{2}=-1 gdzie x \in R}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \notin D}\)
Chyba nie musze rozpatrywac pierwiastkow zespolonych, bo w poleceniu jest napisane, ze mam ten wielomian rozlozyc na czynniki rzeczywiste proste. Czyli w sumie jak zapisac ten rozklad?
\(\displaystyle{ x _{1} \notin D}\)
Chyba nie musze rozpatrywac pierwiastkow zespolonych, bo w poleceniu jest napisane, ze mam ten wielomian rozlozyc na czynniki rzeczywiste proste. Czyli w sumie jak zapisac ten rozklad?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Rozklad wielomianu
Chwileczkę. Przecież wielomian nad R rozkłada się na czynniki liniowe lub kwadratowe nierozkładalne, prawda? Musisz więc rozpatrywać liczby zespolone, żeby dojść do tego, jak wyglądają te nierozkładalne czynniki rzeczywiste. Znajdź wzór na rozwiązania zespolone, to zobaczysz jak z tego rzeczywiste zrobić.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 18:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :]
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozklad wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)^{k_1}*(x-x_2)^{k_2}...(x-x_r)^{k_r} * (x^2+p_1x+q_1)^{l_1}*(x^2+p_sx+q_2)^{l_2}...(x^2+p_sx+q_s)^{l_s}}\)
Wzor jest, tylko ze ja dalej nie rozumie, przeciez nie bede wyznaczal wszystich pierwiastkow zespolonych tego wielomianu ktore pokrywaja sie z pierwiastkami \(\displaystyle{ \sqrt[2007]{1}}\) i jest ich tyle, jaki jest stopien pierwiastka. Na czym polega haczyk tego zadania, chyba o to mi teraz chodzi :]
Wzor jest, tylko ze ja dalej nie rozumie, przeciez nie bede wyznaczal wszystich pierwiastkow zespolonych tego wielomianu ktore pokrywaja sie z pierwiastkami \(\displaystyle{ \sqrt[2007]{1}}\) i jest ich tyle, jaki jest stopien pierwiastka. Na czym polega haczyk tego zadania, chyba o to mi teraz chodzi :]
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Rozklad wielomianu
Po pierwsze, na pierwiastki zespolone masz wzór, nieważne ile ich jest.
Po drugie, te pierwiastki są parami sprzężone, a wtedy
\(\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z})=(x-re(z)-im(z)i)(x-re(z)+im(z)i)=(x-re(z))^2+im(z)^2}\)
co jest ewidentnie wielomianem rzeczywistym (i można to jeszcze trochę uprościć).
Zatem trzeba tylko odkryć które są sprzężone ze sobą i ostateczny wzór można pisać.
Pozdrawiam.
Po drugie, te pierwiastki są parami sprzężone, a wtedy
\(\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z})=(x-re(z)-im(z)i)(x-re(z)+im(z)i)=(x-re(z))^2+im(z)^2}\)
co jest ewidentnie wielomianem rzeczywistym (i można to jeszcze trochę uprościć).
Zatem trzeba tylko odkryć które są sprzężone ze sobą i ostateczny wzór można pisać.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Rozklad wielomianu
Musisz wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone tego równania - czyli pierwiastki stopnia 2008 z 1.
Stąd masz rozkład wielomianu \(\displaystyle{ x^{2008}-1}\) na czynniki liniowe nad C. Z tego rozkładu musisz usunąć (x-1) (bo z założenia x jest różny od 1).
Czynnik x+1 trzeba zapisać osobno, a z pozostałych trzeba połączyć w pary te czynniki, w których masz pierwiastki sprzężone - i dostajesz z tego zapis w postaci \(\displaystyle{ (x+1)\prod (x^2+a_ix+b_i)}\) (współczynniki trzeba obliczyć i zakres też trzeba wyznaczyć).
Pozdrawiam.
Stąd masz rozkład wielomianu \(\displaystyle{ x^{2008}-1}\) na czynniki liniowe nad C. Z tego rozkładu musisz usunąć (x-1) (bo z założenia x jest różny od 1).
Czynnik x+1 trzeba zapisać osobno, a z pozostałych trzeba połączyć w pary te czynniki, w których masz pierwiastki sprzężone - i dostajesz z tego zapis w postaci \(\displaystyle{ (x+1)\prod (x^2+a_ix+b_i)}\) (współczynniki trzeba obliczyć i zakres też trzeba wyznaczyć).
Pozdrawiam.