Oblicztć pierwiastek

[Marta99]

\(\displaystyle{ \sqrt{-15+8i}}\)

Prosze o pomoc przy wyznaczeniu argumentu bo wychodzi mi :
\(\displaystyle{ sin = \frac{8}{17}
cos = \frac{-15}{17}}\)

i nie wiem co dalej z tym robić

[BettyBoo]

Z argumentem to nic

Najlepiej podstawić do wzoru

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=\pm\left( \sqrt{\frac{|z|+re(z)}{2}}+sgn(im(z)) \sqrt{\frac{|z|-re(z)}{2}}i\right)}\)

gdzie sgn jest funkcją znaku (ma wartość 1 dla dodatnich liczb, 0 dla 0 oraz -1 dla ujemnych)

Jeśli nie możesz z tego wzoru korzystać, to korzystasz z oczywistego skądinąd faktu, że pierwiastki z liczb zespolonych są liczbami zespolonymi, a więc w szczególności

\(\displaystyle{ \sqrt{-15+8i}=x+iy\ \Rightarrow \ -15+8i=x^2-y^2+2xyi}\)

Porównujesz części rzeczywiste i urojone i rozwiązujesz układ równań.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

BettyBoo, czy aby na pewno ten wzór jest poprawny

Nie działa dla rzeczywistych ujemnych

ponieważ według tego wzoru część urojona jest zerowa
a tak nie jest

Wzór działałby gdybyśmy przyjęli że zero jest liczbą dodatnią
chociaż w rzeczywistości tak nie jest

Wynikiem oczywiście jest \(\displaystyle{ z=1+4i}\)

[BettyBoo]

mariuszm, masz rację, to nie jest klasyczna funkcja znaku, za szybko napisałam

Pozdrawiam.

[Marta99]

Czyli ostatecznie użyć \(\displaystyle{ \sqrt{-15+8x} =x+iy}\) tak ?

Wyliczyłam wyszło mi tak samo tylko że mam dwa pierwiastki x= 1+ 4i lub x=-1-4i dobrze ?

[Mariusz M]

Obydwa pierwiastki dadzą poprawny wynik

[Marta99]

Bardzo, bardzo dziękuję ))) jutro mam koło :/

[BettyBoo]

Czyli ostatecznie użyć \(\displaystyle{ \sqrt{-15+8x} =x+iy}\) tak ?

Wyliczyłam wyszło mi tak samo tylko że mam dwa pierwiastki x= 1+ 4i lub x=-1-4i dobrze ?

Wzór, o którym było wcześniej jest poprawny, jeśli przyjmujesz, że liczba 0 ma znak 1 (a nie 0) (Twojego przypadku to i tak nie dotyczy).

Wyszło dobrze. Mają być dwa pierwiastki, bo to liczby zespolone.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Pierwiastek kwadratowy daje w liczbach zespolonych daje dwie wartości

Nie powinien być on nazywany funkcją ponieważ zgodnie z definicją

\(\displaystyle{ x \rho y_{1} \wedge x\rho y_{2} \Rightarrow y_{1}=y_{2}}\)

Powyższa definicja funkcji mówi że jeżeli x jest w relacji z \(\displaystyle{ y_{1}}\)
i x jest w relacji z \(\displaystyle{ y_{2}}\) to \(\displaystyle{ y_{1}=y_{2}}\)