Dzielenie wielomianow

[halker]

Polecenie brzmi tak:
Nie wykonujac dzielenia znalezc reszty z dzielen wielomianow P przez Q
\(\displaystyle{ P(x)=x^{30} +3x^{14}+2, Q(x)=x^3+1}\)

Korzystalem z zaleznosci takiej ze \(\displaystyle{ P(x)=I(x)Q(x)+ R(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\)
I teraz szukalem pierwiastkow wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\), ktore wyszly mi \(\displaystyle{ x _{1} =-1, x _{2}= \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i, x _{3}= \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\). I w sumie teraz powinienem te pierwiastki podstawic, ale cos nie moge sobie poradzic z tymi potegami. Poratuje ktos?

[BettyBoo]

Ale potęgi Cie nie interesują za bardzo, bo przecież \(\displaystyle{ P(x_k)=R(x_k),\ k=1,2,3}\), a do kwadratu chyba umiesz podnieść?

Pozdrawiam.

[halker]

Nie rozumie, gdzie mam podniesc do kwadratu. Jak podstawie np \(\displaystyle{ x _{2}}\) do \(\displaystyle{ P(x)}\) to otrzymam \(\displaystyle{ P(x)=( \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i)^{30}+ 3( \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i)+2=R(x)}\). Wyliczylem to tez ale nie wyszlo mi to co jest w odpowiedziach. Dalej potrzebuje pomocy :]

[BettyBoo]

Ach taaakie potęgi No a ze wzoru Moivre'a nie łaska?

Moduł jest równy 1, a argumenty to \(\displaystyle{ \pm\frac{\pi}{3}}\). Więc

\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}\pm \frac{ \sqrt{3} }{2}i)^{30}=cos (\pm30\cdot\frac{\pi}{3})+isin(\pm30\cdot\frac{\pi}{3})= cos(\pm10\pi)+isin(\pm10\pi)=1}\)

Pozdrawiam.

[halker]

Musialem sie gdzies w cyferkach pomylic, bo liczylem z tego wzoru. Jeszcze raz to przeliczylem i wyszlo. Policzylem to najpierw dla\(\displaystyle{ x_{1} =-1}\) co dalo mi \(\displaystyle{ c=3}\). Potem po wyprowadzeniu wszystkiego dostalem rownanie \(\displaystyle{ 3+ 3 \sqrt{3}i=(-a+b+2c)+(a \sqrt{3}+b \sqrt{3})i}\) Porownalem czesci rzeczywiste i urojone i wyszlo.\(\displaystyle{ R(x)=3x^2+3}\)Cale zamieszanie z tego powodu, ze w zbiorze to zadanie zostalo umieszczone w takim miejscu, iz uznalem, ze musi byc ono latwe, krotkie i przyjemne, a jednak bylo troche czasochlonne co mnie zmylilo. Dzieki za poswiecony czas. Juz wszystko jasne :*