Witam
Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ z^{2} = 4 \overline{z}}\)
i muszę rozwiązać je w zbiorze liczb zespolonych.
Zrobiłem to tak jak poniżej, ale nie jestem w ogóle pewny czy to jest dobrze - w notatkach mam coś nabazgrane, ale chyba coś źle przepisałem, bo nic się nie zgadza.
\(\displaystyle{ \overline {z} = x-yi}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (x+yi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x+yi)^{2} = 4 (x-yi)}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + 2xyi + y^{2} i^{2} = 4x - 4yi}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + 2xyi - y^{2} = 4x - 4yi}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} + 2xyi = 4x - 4yi}\)
i teraz utworzyłem z tego układ równań:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ {2xy = -4y} \end {cases}}\)
Z drugiego równania otrzymałem:
\(\displaystyle{ 2xy = -4y /:2y}\)
\(\displaystyle{ x = -2 \wedge y \neq 0}\)
po podstawieniu do pierwszego równania otrzymałem:
\(\displaystyle{ 4-y^{2} = -8}\)
\(\displaystyle{ y^{2} = 12}\)
\(\displaystyle{ y_{1} = 2 \sqrt{3} \vee y_{2} = -2 \sqrt{3}}\)
Istnieją na pewno takie rozwiązania danego równania:
\(\displaystyle{ z_{1} = -2 + 2\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = -2 - 2\sqrt{3}i}\)
Ale to chyba nie jest wszystko ...
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych
Po dojściu do
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ {2xy = -4y} \end {cases}}\)
zamiast dzielić przez niewiadomą lepiej napisać
\(\displaystyle{ (2x+4)y=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x = -2 \vee y=0}\)
i rozważać dwa przypadki:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ x=-2 \end {cases} \vee \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ y=0 \end {cases}}\)
Zbiór rozwiązań równania będzie oczywiście sumą zbiorów rozwiązań tych dwóch układów równań.
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ {2xy = -4y} \end {cases}}\)
zamiast dzielić przez niewiadomą lepiej napisać
\(\displaystyle{ (2x+4)y=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x = -2 \vee y=0}\)
i rozważać dwa przypadki:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ x=-2 \end {cases} \vee \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ y=0 \end {cases}}\)
Zbiór rozwiązań równania będzie oczywiście sumą zbiorów rozwiązań tych dwóch układów równań.
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych
Dzięki wielkie, teraz już rozumiem, czemu mi nie wychodziło