Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

[mateo1990]

Witam

Mam takie równanie:

\(\displaystyle{ z^{2} = 4 \overline{z}}\)

i muszę rozwiązać je w zbiorze liczb zespolonych.
Zrobiłem to tak jak poniżej, ale nie jestem w ogóle pewny czy to jest dobrze - w notatkach mam coś nabazgrane, ale chyba coś źle przepisałem, bo nic się nie zgadza.

\(\displaystyle{ \overline {z} = x-yi}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = (x+yi)^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x+yi)^{2} = 4 (x-yi)}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + 2xyi + y^{2} i^{2} = 4x - 4yi}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + 2xyi - y^{2} = 4x - 4yi}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} + 2xyi = 4x - 4yi}\)

i teraz utworzyłem z tego układ równań:

\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ {2xy = -4y} \end {cases}}\)

Z drugiego równania otrzymałem:

\(\displaystyle{ 2xy = -4y /:2y}\)
\(\displaystyle{ x = -2 \wedge y \neq 0}\)

po podstawieniu do pierwszego równania otrzymałem:

\(\displaystyle{ 4-y^{2} = -8}\)
\(\displaystyle{ y^{2} = 12}\)

\(\displaystyle{ y_{1} = 2 \sqrt{3} \vee y_{2} = -2 \sqrt{3}}\)

Istnieją na pewno takie rozwiązania danego równania:

\(\displaystyle{ z_{1} = -2 + 2\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = -2 - 2\sqrt{3}i}\)

Ale to chyba nie jest wszystko ...

[Eloy]

Po dojściu do

\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ {2xy = -4y} \end {cases}}\)

zamiast dzielić przez niewiadomą lepiej napisać

\(\displaystyle{ (2x+4)y=0}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ x = -2 \vee y=0}\)

i rozważać dwa przypadki:

\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ x=-2 \end {cases} \vee \begin {cases} x^{2} - y^{2} = 4x \\ y=0 \end {cases}}\)

Zbiór rozwiązań równania będzie oczywiście sumą zbiorów rozwiązań tych dwóch układów równań.

[mateo1990]

Dzięki wielkie, teraz już rozumiem, czemu mi nie wychodziło