Równanie kwadratowe - liczby zespolone

[czarny1989]

Witam ponownie. Wszystkie napisane przeze mnie tematy zostały rozwiązane pomyślnie przez Was, więc myślę, że teraz będzie podobnie

Mianowicie chodzi o pewne banalne i proste zadanie:

\(\displaystyle{ z^{2} + 3z + 3 - i = 0}\)

Prosiłbym kogoś o rozwiązanie go (sam te zadanie rozwiązałem kilkakrotnie, lecz wynik nie jest prawidłowy) bez stosowania skrótów myślowych. Byłbym bardzo wdzięczny!

Ps. Jeśli ktoś chce mi tak na maksa pomóc to jeszcze to zadanko (również banalne):

\(\displaystyle{ \sqrt{3 - 4i}}\)

[Gacuteek]

wstaw może własne obliczenia a wskaże Ci ewentualne błędy.

[makshh]

\(\displaystyle{ z^2+3z+3-i=0}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \Delta=3^2-4*1*(3-i)=9-12+4i=-3+4i}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-3+4i}}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ z^2=(x+yi)^{2}=x^2-y^2+2xyi}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=-3\\2xy=4\end{cases}}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ xy=2 => x=\frac{2}{y}}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ (\frac{2}{y})^{2}-y^2+3=0}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{y^2}-y^2+3=0 /*y^2}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ -y^4+3y^2+4=0}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ t=y^2, t>0}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ -t^2+3t+4=0}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9-4*(-1)*4=25}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{-3-5}{-2}=\underline{4}}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{-3+5}{-2}=-1}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ y^2=4}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ y=2}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ y=-2}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1\\y=2\end{cases}}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1\\y=-2\end{cases}}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-3+4i}=\mp\left(1+2i \right)}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{-3-1-2i}{2}=-2-i}\)\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{-3+1+2i}{2}=-1+i}\)\(\displaystyle{ \\}\)

Moze gdzies sie wkradl blad, dopiero zaczynam z algebra, ale rozwiazania sie chyba zgadzaja..

[Gacuteek]

Warto przyswoić wzór:

\(\displaystyle{ \sqrt \Delta = \sqrt{ \frac{|z|+\Re z }{2} }+ \varepsilon i \sqrt{ \frac{|z|-\Re z }{2} }}\)

gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) to znak przym \(\displaystyle{ \Im z}\) ( części urojonej).

Pozdrawiam.