Funkcje zespolone

[zzix]

Mam do rozwiazania nastepujace zadanie, nie za bardzo wiem o co chodzi i z czym sie to je.

Obliczyc wartosc wyrazenia:
\(\displaystyle{ 1) ln \left(1-i \right)+sin \left( 2+i\right)

2) arctg \left( \frac{3i}{5} \right)

3) (1+i) ^{3+i}}\)
Prosilbym o rowiazanie i umieszczenie obliczen. Z gory dziekuje!

[miodzio1988]

O na pewno....
1)Zwykłe wstawianie do wzorudefinicji.
Dokoncz zdania:
\(\displaystyle{ sinz=...}\)
\(\displaystyle{ Lnz=...}\)
\(\displaystyle{ ...}\)- jak nie umiesz tego wypelnic to daruj sobie to zadanie
2) Na dwa sposoby mozna to zrobic. Proponuję trudniejszy.
\(\displaystyle{ arctgz=...}\)
wyprowad wzor na taką funkcję. łatwo się to robi jak się wie ile to jest :
\(\displaystyle{ tgz=...}\)
3)\(\displaystyle{ (1+i) ^{3+i}= e^{(3+i)ln(1+i)}}\)
I znow wzor. Wiec najpierw naucz się wzorow.

[zzix]

Ok, przyklad 1)

Podstawiam i mam:
\(\displaystyle{ ln \left(1-i \right) =ln \left| 1-i\right| +iarctg \left( -1\right)

sin \left(2+i \right) = \frac{e ^{2i-1}-e ^{-2i+1} }{2i}}\)

i co dalej??

[miodzio1988]

. Pierwsze wyrazenie policz moduł i kąt tylko. Pamiętaj o okresowosci jeszcze. W drugim skorzystaj ze wzoru Eulera. Wtedy będzie wszystko.

[zzix]

Jesli chodzi o \(\displaystyle{ ln \left(1-i \right)}\) :

\(\displaystyle{ ln \left( \sqrt{ \left(2-i \right) \left(2+i \right) } \right) +i \frac{7}{4}\pi}\)

Teraz nie bardzo wiem, co masz na mysli przez podstawienie do wzoru Eulera (\(\displaystyle{ e ^{ix}=cosx+isinx}\), tak?)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ ln \left|1-i \right|}\)
a nie
\(\displaystyle{ ln \left(1-i \right)}\)
to po pierwsze.
Po drugie to mowilem cos o okresowosci, nie? Tak to tylko jedną gałąź wyznaczyłeś
po trzecie tak z tego wzoru Eulera skorzystaj

[zzix]

Wiec:
\(\displaystyle{ ln \left|1-i \right| =ln \left( \sqrt{ \left(1+i \right) \left(1-i \right) } \right)+ \frac{7}{4}\pi

\vee

ln \left|1-i \right| =ln \left( \sqrt{ \left(1+i \right) \left(1-i \right) } \right)+ \frac{3}{4}\pi}\)

i szczerze mowiac, nie mam pojecia jak podstawic 2gie wyrazenie pod wzor Eulera

[miodzio1988]

Wez ten pierwiastek wylicz to raz. Dwa tych wartosci będzie nieskonczenie wiele wiec masz problem.
\(\displaystyle{ e ^{2i-1}= e^{2i} \cdot \frac{1}{e} =}\)
teraz widzisz?

[zzix]

czyli ostateczny wynik to cos typu:
\(\displaystyle{ e ^{ln \sqrt{5} } +i \left( \frac{7}{4} \pi -e ^{2}-e ^{4i} \right)}\)
lub
\(\displaystyle{ e ^{ln \sqrt{5} } +i \left( \frac{3}{4} \pi -e ^{2}-e ^{4i} \right)}\)
??