Cześć
Potrzebuję pomocy z jednym przykładem, jakkolwiek nie próbuję wychodzi mi długi bohomaz, babram się w wysokich potęgach i klops.
Polecenie, jak w temacie: Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie.
\(\displaystyle{ \left(\overline{z} \right)^2 = \frac{|z|^2}{\overline{z} - i}}\)
Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki .
Pozdrawiam
mayh90
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie
ja bym to jakos tak zaczal:
\(\displaystyle{ \overline{z}^{2}=\frac{\left|z\right|^{2}\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left(\overline{z}-i\right)\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}^{2}=\frac{\left|z\right|^{2}\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left|\overline{z}-i\right|^{2}}}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left|x-iy-i\right|^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left|x-i\left(y+1\right)\right|^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\overline{\left(x-i\left(y+1\right)\right)}}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\left(x+i\left(y+1\right)\right)}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}\left[x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right]=\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\left(x+i\left(y+1\right)\right)}\)-- 27 listopada 2009, 01:01 --wymnażasz lewą i prawą stronę i porównujesz to co jest czescia rzeczywista lewej strony z czescia rzeczywista prawej itd
\(\displaystyle{ \overline{z}^{2}=\frac{\left|z\right|^{2}\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left(\overline{z}-i\right)\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}^{2}=\frac{\left|z\right|^{2}\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left|\overline{z}-i\right|^{2}}}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left|x-iy-i\right|^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\overline{\left(\overline{z}-i\right)}}{\left|x-i\left(y+1\right)\right|^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\overline{\left(x-i\left(y+1\right)\right)}}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\left(x+i\left(y+1\right)\right)}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}\left[x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right]=\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\left(x+i\left(y+1\right)\right)}\)-- 27 listopada 2009, 01:01 --wymnażasz lewą i prawą stronę i porównujesz to co jest czescia rzeczywista lewej strony z czescia rzeczywista prawej itd
-
miodzio1988
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie
bstq, trochę za szybko przeszedłeś do podstawienia+trochę "utrudniłeś" sobie zadanie.
\(\displaystyle{ \left|z \right| ^{2}=z \cdot \overline{z}}\)
I wtedy (przy małym założeniu) sobie ładnie uprościmy wszystko.
A pozniej wymnozyc na krzyz i zastosowac podstawienie to juz nie problem.
\(\displaystyle{ \left|z \right| ^{2}=z \cdot \overline{z}}\)
I wtedy (przy małym założeniu) sobie ładnie uprościmy wszystko.
A pozniej wymnozyc na krzyz i zastosowac podstawienie to juz nie problem.
-
mayh90
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Legionowo
- Podziękował: 2 razy
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie
Dzięki za szybką odpowiedź .
To takiej postaci:
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}\left[x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right]=\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\left(x+i\left(y+1\right)\right)}\)
na dobrą sprawę dochodziłem, właśnie po wymnożeniu zaczyna się robić chaos potworny i zacząłem się zastanawiać, czy to na pewno dobra metoda .
Rzeczywiście sztuczka z:
\(\displaystyle{ \left|z \right| ^{2}=z \cdot \overline{z}}\)
upraszcza sytuację, przy założeniu:
\(\displaystyle{ \overline{z} \neq i}\)
Po porównaniu części rzeczywistych i urojonych i obliczeniach:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y^{2} = x + y \\ 2xy + x = y \end{cases}}\)
...
\(\displaystyle{ x = -y \vee x = y + 1}\)
Teraz trzeba wykorzystać drugie równanie z układu, tak?
\(\displaystyle{ -2y - y = y}\)
...
\(\displaystyle{ y = 0 \vee y = -1}\)
oraz
\(\displaystyle{ -2y(y+1) + (y+1) = y}\)
...
\(\displaystyle{ y = \frac{2 + \sqrt{13} }{-4} \vee y = \frac{2 - \sqrt{13} }{-4}}\)
A więc wyniki:
\(\displaystyle{ \left( x = 0 \wedge y = 0 \right) \vee
\left( x = 1 \wedge y = -1 \right) \vee
\left( x = \frac{-2 + \sqrt{13} }{-4} \wedge y = \frac{-2 + \sqrt{13} }{-4} \right)}\)
Ale chyba coś oszukałem?
To takiej postaci:
\(\displaystyle{ \left(x-iy\right)^{2}\left[x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right]=\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\left(x+i\left(y+1\right)\right)}\)
na dobrą sprawę dochodziłem, właśnie po wymnożeniu zaczyna się robić chaos potworny i zacząłem się zastanawiać, czy to na pewno dobra metoda .
Rzeczywiście sztuczka z:
\(\displaystyle{ \left|z \right| ^{2}=z \cdot \overline{z}}\)
upraszcza sytuację, przy założeniu:
\(\displaystyle{ \overline{z} \neq i}\)
Po porównaniu części rzeczywistych i urojonych i obliczeniach:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y^{2} = x + y \\ 2xy + x = y \end{cases}}\)
...
\(\displaystyle{ x = -y \vee x = y + 1}\)
Teraz trzeba wykorzystać drugie równanie z układu, tak?
\(\displaystyle{ -2y - y = y}\)
...
\(\displaystyle{ y = 0 \vee y = -1}\)
oraz
\(\displaystyle{ -2y(y+1) + (y+1) = y}\)
...
\(\displaystyle{ y = \frac{2 + \sqrt{13} }{-4} \vee y = \frac{2 - \sqrt{13} }{-4}}\)
A więc wyniki:
\(\displaystyle{ \left( x = 0 \wedge y = 0 \right) \vee
\left( x = 1 \wedge y = -1 \right) \vee
\left( x = \frac{-2 + \sqrt{13} }{-4} \wedge y = \frac{-2 + \sqrt{13} }{-4} \right)}\)
Ale chyba coś oszukałem?