dokończenie zadania

[atmed]

Rozwiąż

\(\displaystyle{ z^{4} -16j=0}\)
\(\displaystyle{ z^{4}=16}\)

\(\displaystyle{ z=2}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ w=0, k=0; 2(cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{4}+ j sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{4})=2(cos \frac{\pi}{8} +jsin \frac{\pi}{8})}\)

\(\displaystyle{ w=1, k=1; 2(cos \frac{ \frac{\pi}{2}+2\pi }{4}+jsin \frac{ \frac{\pi}{2}+2\pi }{4})=2(cos \frac{5}{8} \pi +jsin \frac{5}{8}\pi)}\)

\(\displaystyle{ w=2, k=2; 2(cos \frac{9}{8}\pi +jsin \frac{9}{8}\pi)}\)

\(\displaystyle{ w=3, k=3; 2(cos \frac{13}{8}\pi+jsin \frac{13}{8}\pi)}\)

mam pytanie co dalej tzn przedtem liczyłem zadanie w których można było dostrzec jakie to liczy są w nawiasach, a teraz nie wiem jak do tego dojść. wstawiałem te liczy w nawias i mnożyłem przez liczbę przed nawiasem i mi ładnie wychodził wynik. Co mam zrobić a może inaczej trzeba było rozwiązać to zadanie.





.
.
.
.

.
.
rozwiąż

\(\displaystyle{ z^{5} +2j+2=0}\)
.
.
\(\displaystyle{ z ^{2}= \sqrt{8} =2 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{2}{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)


\(\displaystyle{ \varphi= \pi+ \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4} \pi}\)


\(\displaystyle{ w=0, k=0 ; \sqrt[5]{4} ( cos \frac{ \frac{5}{4}\pi }{5}+jsin \frac{ \frac{5}{4}\pi }{5})=\sqrt[5]{4} (cos \frac{\pi}{4} +jsin \frac{\pi}{4})=\sqrt[5]{4} ( \frac{ \sqrt{2} }{2} +jsin\frac{ \sqrt{2} }{2})=}\)

\(\displaystyle{ w=1,,k=1;; \sqrt[5]{4} (cos\frac{ \frac{5}{4}\pi +2\pi}{5}+jsin\frac{ \frac{5}{4}\pi +2\pi}{5})=\sqrt[5]{4} (cos \frac{13}{20}\pi +jsin \frac{13}{20}\pi)}\)


\(\displaystyle{ w=2,, k=2;;; \sqrt[5]{4} (cos \frac{21}{20}\pi +jsin \frac{21}{20}\pi)}\)


\(\displaystyle{ w=3 ,,k=3;;; \sqrt[5]{4} (cos \frac{29}{20}\pi +jsin \frac{29}{20}\pi)}\)



\(\displaystyle{ w=4,,,k=4;;; \sqrt[5]{4} (cos \frac{37}{20}\pi +jsin \frac{37}{20}\pi)}\)




Tu tez mi jakos nie wyszło i nie wiem czy dobrze rozpisałem. czekam na podpowiedzi.

[soku11]

Kompletnie nie rozumiem, co wypisujesz... Jakieś w,k średniki, itd... Nic z tego nie wynika, ani to nie wynika z znikąd. Mogę jedynie powiedzieć, że to co zrobiłeś w pierwszym jest złe. Tzn. Zrobiłeś coś takiego:
\(\displaystyle{ z^4=16\\
z=\sqrt[4]{16}}\)

Tak nie można. Tutaj będą 4 rozwiązania. Aby je znaleźć zamieniasz prawą stronę (16) na postać trygonometryczną i korzystasz z wzoru de Moivre'a.

Co do drugiego:
\(\displaystyle{ z^2=-2-2j}\)

I tak jak w poprzednik (trygonometryczna + de Moivre).

Pozdrawiam.

[atmed]

możesz mi podpowiedzieć bo nie rozumiem. Wydaje mi się że zrobiłem tak jak piszesz tzn zrobiłem wzorem de moivera

[soku11]

\(\displaystyle{ z^4=16\\
z^4=16(\cos 0+i\sin 0)\\
z_k=2\left(\cos \frac{2k\pi}{4}+i\sin \frac{2k\pi}{4}\right),\;\; k\in\{0,1,2,3\}}\)

Stąd już widać przynajmniej jeden pierwiastek - 2. Inne trzeba policzyć ręcznie.

Pozdrawiam.

[atmed]

a dlaczego \(\displaystyle{ \varphi}\) równa sie zero ?Przecież moim zdaniem widać ewidentnie że\(\displaystyle{ \varphi}\) to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), chyba że se myle?

[soku11]

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=0+i=i}\)

Zresztą jest to dosyć intuicyjne. Jak narysujesz sobie płaszczyznę zespolona \(\displaystyle{ \Re z, \Im z}\), to widać, że skoro liczba 16 leży na osi Re z, to kąt jest wtedy 0. Analogicznie dla liczb ujemnych kąt to \(\displaystyle{ -\pi}\).

Pozdrawiam.

[atmed]

troche nie rozumiem tzn wiem z kąd to wziołeś ale na lekcjach robiłem to tak że jak pisałem postać trygonommetyczną to zostawiałem ją tak jak jest, a ty widzę że zamieniasz odrazu na liczby. Próbowałem zrobić tak jak pisałeś zadanie które robiliśmy na lekcji twoim sposobem tzn. odrazu określić jakie to liczy są i wynik wychodzi zupełnie inny. więc nie kapuje możesz mi to rozwiązać bo chyba nie skapuje o co ci chodzi.

[soku11]

Ja za to nie rozumiem, czego ode mnie wymagasz :/ Nie wiem, gdzie zamieniam od razu na liczby. Jeśli chodzi ci o to, że od razu znalazłem kąt, to już pisałem - widać to z układu zmiennej zespolonej i definicji. W ogólności nie zawsze da się powiedzieć jaki to kąt bez chociażby jakichś prostych kombinacji

Pozdrawiam.

[atmed]

nie rozumiem za bardzo

z twojego toku wynika że

k=0
0
k=1
\(\displaystyle{ 2(\frac{2\pi}{4}+\frac{2\pi}{4})=2( \frac{\pi}{2}+j \frac{\pi}{2})=2j}\)
i tak dalej do k=3

Chyba źle licze bo nie rozumiem twoich tłumaczeń

[soku11]

\(\displaystyle{ z_k=2\left(\cos \frac{2k\pi}{4}+i\sin \frac{2k\pi}{4}\right),\;\; k\in\{0,1,2,3\}\\
z_k=2\left(\cos \frac{k\pi}{2}+i\sin \frac{k\pi}{2}\right),\;\; k\in\{0,1,2,3\}\\
z_0=2\left(\cos 0+i\sin 0\right)=2\\
z_1=2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=2i\\
z_2=2\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-2\\
z_3=2\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)=-2i\\}\)

Jak nie wierzysz, że wyniki są ok, to podnieś każdy z nich do 4 potęgi. Każdy z nich da ci dokładnie 16.

Pozdrawiam.

[atmed]

a my liczyliśmy tak na lekcjach
\(\displaystyle{ z^{3} +27j=0}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{3}{2}\pi}\)

k=0
\(\displaystyle{ 3( cos \frac{3}{2}\pi +jsin \frac{ \frac{3}{2} \pi}{3}=3j}\)
k=1
\(\displaystyle{ - \frac{3 \sqrt{3} }{2} - \frac{3}{2}j}\)
k=2
\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} }{2} - \frac{3}{2}j}\)

odp. równanie \(\displaystyle{ z^{3}+27j=0}\) ma rozwiązania

w=0 \(\displaystyle{ 3j}\)
w=1 \(\displaystyle{ - \frac{3 \sqrt{3} }{2}- \frac{3}{2} j}\)
w=2 \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} }{2}- \frac{3}{2}j}\)

my liczyliśmy tak czy to to samo liczysz jak ja tu pokazałem????

[soku11]

Jest błąd w moim rozwiązaniu - teraz zauważyłem. Przepisałem zgodnie z treścią:
\(\displaystyle{ z^4=16}\)

A w pierwszej linijce jest:
\(\displaystyle{ z^4=16i}\)

A to całkowicie zmieni wynik.

Co do przykładu z lekcji:
\(\displaystyle{ z^3=-27i\\
z^3=27(-i)\\
z^3=27\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)\\
z_k=3\left(\cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right),\;\; k\in\{0,1,2\}}\)

I to ci da 3 rozwiązania.
Pozdrawiam.

[atmed]

czyli dobrze rązwiązałem te 2 zadania z pierwszego posta??? tylko czy mozna jeszcze z tym coś zrobić.