Równanie kwadratowe

[czarny1989]

Witam. Mam takie zadanie :

\(\displaystyle{ z^{2} - (3 - 2i)z - 6i = 0}\)

Najpierw liczę deltę, gdzie :
\(\displaystyle{ a = 1; b = -(-3 - 2i) = (-3 + 2i); c = -6i}\)
\(\displaystyle{ Delta = (-3 + 2i)^{2} - 4 * 1 * (-6i)}\)
\(\displaystyle{ Delta = 9 - 12i - 4 + 24i}\)
\(\displaystyle{ Delta = 5 + 12i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Delta} = \sqrt{5 + 12i}}\)

Zakładam, że \(\displaystyle{ z = x + yi}\) więc :

\(\displaystyle{ \sqrt{5 + 12i} = x + yi / ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 5 + 12i = x^{2} - y^{2} + 2xyi}\)

Porównuje liczby rzeczywiste i urojone po obydwóch stronach równania :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - y^{2} = 5 \\ 2xy = 12 \end{cases} / :2x}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{6}{x}}\)

Gdy wyliczyłem już y, to podstawiam to do tego równania \(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} = 5}\)
I wychodzi mi :

\(\displaystyle{ x^{2} - \left( \frac{6}{x} \right)^{2} = 5}\)

Obliczam to dalej i właśnie dochodzę do tego momentu :

\(\displaystyle{ x^{4} - 5x^{2} + 36 = 0}\)

i z tego mi wyszło :

\(\displaystyle{ x^{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4}\)

oraz :

\(\displaystyle{ x^{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9}\)

Moje pytanie brzmi, co dalej?

[soku11]

Moje pytanie brzmi - co to jest x? Masz przecież równanie kwadratowe zmiennej z... Nie za bardzo wiem co tutaj zrobiłeś.

Pozdrawiam.

[czarny1989]

Napisałem w pierwszym poście o co mi chodzi i jak to liczyłem.

[Mariusz M]

Liczysz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\)

więc trochę niefortunnie wybrałeś \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

\(\displaystyle{ x^2=-4}\) odpada ponieważ \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3 \wedge y=2 \\ x=-3 \wedge y=-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=3+2i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=-3-2i}\)

Wybierasz jedną wartość i podstawiasz do wzoru

Skończyłeś na obliczeniu części rzeczywistej z pierwiastka z delty

[czarny1989]

Liczysz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\)

więc trochę niefortunnie wybrałeś \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

\(\displaystyle{ x^2=-4}\) odpada ponieważ \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3 \wedge y=2 \\ x=-3 \wedge y=-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=3+2i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=-3-2i}\)

Wybierasz jedną wartość i podstawiasz do wzoru

A możesz dokładnie napisać od tego momentu na jakim skończyłem?

[soku11]

Skoro masz już pierwiastek z delty, to wystarczy podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ z=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\)

I masz dwa rozwiązania...
Pozdrawiam.

[czarny1989]

Dzięki wielkie za wszystkie odpowiedzi
Pozdrawiam.