Rozwiąż równanie, Narysuj zbiór, Zamień na ułamki proste.

[Sahagin]

Zwracam się do tęgich głów tego forum o pomoc z tymi zadaniami. Z tych zadań udało mi się zrobić tylko 3b, ponieważ jest w miarę łatwe, lecz nie potrafie jakoś wyprowadzić tego pisemnie. Będę bardzo wdzięczny jeśli ktoś znajdzie czas na rozwiązanie tych zadań, najlepiej krok po kroku bym mógł to wszystko zrozumieć. Z góry dziękuję, Sahagin.

1) Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ (Z+1)^3 = (Z-1)^3}\)


2) Oblicz moduł Z i argument Z
\(\displaystyle{ Z = ( \sqrt[]{3} + i)^9 * (1-i)^5}\)
\(\displaystyle{ |Z| = ? , \phi = ?}\)


3) Narysuj Zbiór
a) \(\displaystyle{ Im (Z+i)^2 <0}\)

b) \(\displaystyle{ |iZ - 2|\leqslant 6}\)
\(\displaystyle{ \phi= \frac{7}{6} \pi}\)


4) Zamień na ułamki proste:
a) \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(x+2)^2(x^2-1)}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{x^3+1}{((x-2)^2(x^2-9)}}\)

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ (z+1)^3 = (z-1)^3\\
(z+1)^3-(z-1)^3=0\\
(z+1-z+1)[(z+1)^2+(z+1)(z-1)+(z-1)^2]=0\\
(z+1)^2+(z+1)(z-1)+(z-1)^2=0\\
z^2+2z+1 +z^2-1+z^2-2z+1=0\\
3z^2+1=0\\
z^2=-\frac{1}{3}}\)

2. Przedstaw obie liczby w postaci trygonometrycznej, podnieś do potęg i przemnóż na samym końcu.
3. Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
4. Nie związane z zespolonymi. Na necie jest pewnie pełno przykładów z rozkładu na ułamki proste...

Pozdrawiam.

[Sahagin]

Co do 3.
\(\displaystyle{ (Z + i)^2 < 0}\)
\(\displaystyle{ ((x + iy)+ i)^2 < 0}\)
\(\displaystyle{ (x + iy)^2 + i^2 <0}\)
\(\displaystyle{ x^2 + 2xiy + (iy)^2 + i^2 < 0}\)
skoro \(\displaystyle{ i^2 = -1}\) to:
\(\displaystyle{ x^2 + 2xiy -y^2 -1<0}\)

I co nalezy teraz zrobic?
\(\displaystyle{ x^2 + 2xiy - y^2 < 1}\)
Czy moze cos innego czego nie widze? Co dalej?

[soku11]

Radzę sobie przypomnieć matematykę z gimnazjum, bo:
\(\displaystyle{ (a+b)^2 \;\; \neq \;\; a^2+b^2}\)
...


\(\displaystyle{ \Im (z+i)^2 <0\\
\Im [x+i(y+1)]^2 <0\\
\Im [x^2+2ix(y+1)-(y+1)^2] <0\\
2x(y+1) <0\\}\)

Pozdrawiam.