rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ (\frac{z+1}{1+i}) ^{3} = 8i}\)
Rozwiązanie podać w postaci algebraicznej
Równanie na liczbach zespolonych
-
Ulala
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 17 lis 2009, o 11:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Równanie na liczbach zespolonych
Ostatnio zmieniony 26 lis 2009, o 11:11 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie na liczbach zespolonych
\(\displaystyle{ \left( \frac{z+1}{1+i} \right) ^3=8i}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \left(z+1 \right) ^3}{ \left(1+i \right) ^3}=8i}\)
\(\displaystyle{ \left(z+1 \right)^3=8i \left(1+i \right)^3}\)
\(\displaystyle{ \left(z+1 \right)= \left(2+2i \right) \left( \cos{ \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{3} }+i\sin{ \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{3} }\right)}\)
\(\displaystyle{ z+1= \left(2+2i \right) \left(\cos{ \frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} }+i\sin{ \frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} } \right)}\)
\(\displaystyle{ z+1= 2 \sqrt{2} \left(\cos{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} \right)}+i\sin{ \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} \right)} \right)}\)
\(\displaystyle{ z+1= 2 \sqrt{2} \left(\cos{ \frac{\pi \left( 5+8k\right) }{12} }+i\sin{\frac{\pi \left(5+8k\right) }{12} } \right)}\)
\(\displaystyle{ z= 2 \sqrt{2} \left(\cos{ \frac{\pi \left( 5+8k\right) }{12} }+i\sin{\frac{\pi \left(5+8k\right) }{12} } \right)-1}\)
\(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \left(z+1 \right) ^3}{ \left(1+i \right) ^3}=8i}\)
\(\displaystyle{ \left(z+1 \right)^3=8i \left(1+i \right)^3}\)
\(\displaystyle{ \left(z+1 \right)= \left(2+2i \right) \left( \cos{ \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{3} }+i\sin{ \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{3} }\right)}\)
\(\displaystyle{ z+1= \left(2+2i \right) \left(\cos{ \frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} }+i\sin{ \frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} } \right)}\)
\(\displaystyle{ z+1= 2 \sqrt{2} \left(\cos{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} \right)}+i\sin{ \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi \left( 1+4k\right) }{6} \right)} \right)}\)
\(\displaystyle{ z+1= 2 \sqrt{2} \left(\cos{ \frac{\pi \left( 5+8k\right) }{12} }+i\sin{\frac{\pi \left(5+8k\right) }{12} } \right)}\)
\(\displaystyle{ z= 2 \sqrt{2} \left(\cos{ \frac{\pi \left( 5+8k\right) }{12} }+i\sin{\frac{\pi \left(5+8k\right) }{12} } \right)-1}\)
\(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_{3}}\)