Równanie/ postać trygonometryczna l. zespolonych

[nixx]

Witam, mam problem z dwoma równaniami, mianowicie:

1. \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1+i\sqrt{3}}}\)

i tu nie wiem w ogóle jak zacząć, bo jak poradzić sobie z pierwiastkiem 4-tego stopnia? Jak wiadomo \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=w\quad \Leftrightarrow \quad w^{n}=z}\), więc \(\displaystyle{ -1+i\sqrt{3}=(x+iy)^{4}}\), czyli wyszedł by z tego jakiś wielomian... i zastanawiam się, czy może jest jakiś inny, prostszy sposób (którego ja po prostu nie znam?) na rozwiązanie tego.



2. \(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{9}}{ (\sqrt{3}-i)^{30}}}\)

tutaj liczę sobie, wszystko mi wychodzi

\(\displaystyle{ (1+i)^{9}}\):
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2}\\
\varphi=\frac{\Pi}{4}\\
(1+i)^{9}= \sqrt{2}^{9}(cos\frac{\Pi}{4}+i sin\frac{\Pi}{4})=\\
2^{4}(1+i)}\)
(postać kanoniczna po wyliczeniu, za dużo roboty z rozpisywaniem się tutaj)

\(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)^{30}}\):
\(\displaystyle{ |z|= 2\\
\varphi=\frac{11}{6}\Pi\\
(\sqrt{3}-i)^{30}=2^{30}(cos(30 \cdot \frac{11}{6}\Pi)+i sin(30 \cdot \frac{11}{6}\Pi))=2^{30}(cos0 + isin0)=\\
=2^{30}}\)

czyli postać kanoniczna wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{9}}{ (\sqrt{3}-i)^{30}}= \frac{2^{4}(1+i)}{2^{30}}=2^{-26}(1+i)}\)

w moim zbiorze zadań wynik to:
\(\displaystyle{ -(2)^{-26}(1+i)}\)
czyli gdzieś zgubiłam -, przypuszczam, że przez to nie wychodzi mi postać trygonometryczna, jaka widnieje w odpowiedziach:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}}{2^{26}}(cos\frac{5}{4}\Pi+i sin\frac{5}{4}\Pi)}\)

może mi ktoś pomóc w dojściu do odpowiedniego wyniku? Z góry dzięki

[soku11]

1. Wzór de moivre'a.
2. Liczba (1+i) źle podniesiona do dziewiątej potęgi (argument też się zmienia, nie tylko moduł). Tak więc dalej nie patrze nawet ;]


Pozdrawiam.

[nixx]

1. Wzór de moivre'a.

a czy mógłbyś chociaż zacząć to równanie, bo jak wiem co to wzór Moivre'a, tak mam zaćmienie jak go użyć w tym przypadku...

2. Liczba (1+i) źle podniesiona do dziewiątej potęgi (argument też się zmienia, nie tylko moduł). Tak więc dalej nie patrze nawet ;]

no tak, zmienił się, ale się nie zmienił bo przy podnoszeniu do 9-tej potęgi =
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{9}(cos\frac{9}{4}\Pi+i sin\frac{9}{4}\Pi)=\sqrt{2}^{9}(cos(2\Pi+\frac{1}{4}\Pi)+i sin(2\Pi+\frac{1}{4}\Pi))=\\
=\sqrt{2}^{9}(cos\frac{\Pi}{4}+i sin\frac{\Pi}{4})}\)
? chyba, że coś mylę :>

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-1+i\sqrt{3}}
z^4=-1+i\sqrt{3}\\}\)

Zapisujesz prawą stronę w postaci trygonometrycznej i stosujesz normalnie ten wzór

2. Rzeczywiście. Jednak
- \(\displaystyle{ \sqrt{2}^9\neq 2^4}\).
- \(\displaystyle{ \cos [(2k+1)\pi]=-1}\)

I teraz już wynik powinien się zgadzać


Pozdrawiam.