równanie z liczbą zespoloną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
enigma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 21:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

równanie z liczbą zespoloną

Post autor: enigma »

Rozwiąż i wykonaj wykres:

\(\displaystyle{ |\frac{z - 2}{z-6}|=1}\)



Rozwiązałam ten przykład następująco:
1.rozbiłam na 2 przypadki

(W każdym z przypadków:)
2.lewą stronę(licznik i mianownik) pomnożyłam przez sprzężenie z mianownikiem

3.przyrównałam liczbę rzeczywistą prawą z lewą i liczbę urojoną prawą z lewą

Teoretycznie coś wyszło, ale dawno nie rozwiązywałam tego typu zadań i nie mam pewności co do metody i samego rozwiązania ( wydaje się zbyt skomplikowane jak na poziom zadania).

Jeśli macie jakieś sugestie, inne pomysły, rozwiązanie .. piszcie:)

Dziękuję za każdą pomoc:))
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

równanie z liczbą zespoloną

Post autor: BettyBoo »

To jest równanie w zespolonych - a więc zdecydowanie rozbijanie na dwa przypadki to niedobry pomysł;)

Można to równanie rozwiązać analitycznie lub geometrycznie.
Równanie jest równoważne z następującym: |z-2|=|z-6|.


Analitycznie: Teraz rozpisujesz z=x+iy i korzystasz definicji modułu w zespolonych.

Geometrycznie: równanie geometrycznie (z geometrycznej interpretacji modułu) oznacza, że szukasz liczb równoogległych od 2 i 6 - a więc rozwiązaniem są liczby leżące na symetralnej odcinka o końcach (2,0) i (6,0).

Pozdrawiam.
enigma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 21:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

równanie z liczbą zespoloną

Post autor: enigma »

Czy przy rozwiązaniu analitycznym nie dostaniemy x=4; y=2?
Wtedy kłóciłoby się to z rozwiązaniem graficznym...
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

równanie z liczbą zespoloną

Post autor: BettyBoo »

Nie dostaniemy, bo będzie tak:

\(\displaystyle{ |(x-2)+iy|=|(x-6)+iy|\ \Rightarrow \ \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt{(x-6)^2+y^2}}\)

a to po rozwiązaniu daje tą samą prostą, która wychodzi graficznie.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ