Równania w zbiorze liczb zespolonych

[Srodus]

\(\displaystyle{ z^{2} -3-4i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{4} +(1-i)z=0}\)
\(\displaystyle{ iz^{2} - z +2i =0}\)
\(\displaystyle{ z^{2} + (1 +4i)z+3-7i =0}\)

Bardzo bym prosił o pokazanie w jaki sposób rozwiązuje się takie równania

[Crizz]

\(\displaystyle{ z^{4}+(1-i)z=0}\)
\(\displaystyle{ z(z^{3}+1-i)=0}\)
\(\displaystyle{ z=0 \vee z^{3}+1-i=0}\)
Z pierwszego czynnika alternatywy mamy \(\displaystyle{ z_{1}=0}\). Dalej:
\(\displaystyle{ z^{3}+1-i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{3}=-1+i}\)
\(\displaystyle{ z^{3}=cos\pi+isin\pi}\)
\(\displaystyle{ z_{2} =cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3} =\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{3} =cos\frac{3\pi}{3}+isin\frac{3\pi}{3} =-1+i}\)
\(\displaystyle{ z_{4} =cos\frac{5\pi}{3}+isin\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Nie rozumiem problemu z pozostałymi, to są przecież zwykłe równania kwadratowe.

[blipek]

Crizz... masz błąd w rozwiazaniu tego przykładu
\(\displaystyle{ z^{3}=-1+j}\)
więc to jest:
\(\displaystyle{ z^{3}= \sqrt{2} (cos(\frac{3\pi}{4})+j \cdot sin(\frac{3\pi}{4}))}\)

a nie \(\displaystyle{ z^{3}= cos\pi+j \cdot sin\pi}\)

i tam dalej idą obliczenia...

[naukowiec23]

\(\displaystyle{ z^{2} + (1 +4i)z+3-7i =0}\)
zwykle rownanie kwadratowe, ale pokaze w razie czego bo czasami sprawia trudność:
najpierw
\(\displaystyle{ delta: (1+4i)(1+4i)-4*1*(3-7i)=-27+36i}\)
wiemy już że \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}*i^{2}=-27+36i}\)
a że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=-27\\
2xy=36\\
x^{2} +y^{2}=45\\
\end{cases}}\)
W 2 pierwszych równaniach przyrównaliśmy części rzeczywiste do rzeczywistych i urojone do urojonych w 3 równaniu jest wynikiem \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}= \sqrt{-27^{2}+36^{2}}}\) i teraz dodajemy 1 równanie do 3 i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2*x^{2}=18}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=9}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=3\\y=6\end{cases} \vee \begin{cases} x=-3 \\ y=-6 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}={3+6i, -3-6i}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{-b- \sqrt{delta}}{2a}= \frac{(-1-4i)-(3+6i)}{2}= \frac{-4-10i}{2}=-2-5i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= \frac{2+2i}{2}=1+i}\)

[Crizz]

wiemy już że \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}*i^{2}=-27+36i}\)

naukowiec23, tu chyba coś zgubiłeś.

Przepraszam, ze namieszałem .