równanie, wzór Moivre'a

[madaf007]

Mam problem z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}}i)^{-6}}\)

Dochodzę do momentu
\(\displaystyle{ {\sqrt{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}^{-6}(cos(-6*\alpha) + sin(-6*\alpha)).}\) No i problem leży w tym, że \(\displaystyle{ cos\alpha=\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ sin\alpha=\sqrt{2}}\) i nie mam pojęcia jaki kąt w radianach wyznacza to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), żeby potem pomnożyć to przez -6?. Jest jakiś na to sposób? Może ogólnie coś źle robię? Proszę o pomoc.

[Tomasz Tkaczyk]

Nie mam pojęcia jaki kąt w radianach wyznacza to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

Żaden kąt nie ma takiej własności! (\(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1,414}\))

Mamy liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}}}\), którą chcemy podnieść do potęgi \(\displaystyle{ -6}\).

Przede wszystkim można tą liczbę zapisać w takiej postaci

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Jej moduł równy jest jeden.

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Zatem, jak łatwo zauważyć kąt między osią rzeczywistą, a wektorem wyznaczonym przez tą liczbę jest równy \(\displaystyle{ 2 \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7 \pi}{4}}\).

Nasza liczba zatem to \(\displaystyle{ cos(\frac{7 \pi}{4}) + i sin(\frac{7 \pi}{4})}\).

Ze wzoru Moivre`a łatwo wyznaczyć potęgę.

[madaf007]

Jejuś faktycznie:P nie wiem czemu napaliłem się od razu na mnożenie modułu przez te wartości sinusów i cosinusów kątów:) Dzięki