Ja mam zaś taki, bardzo podobny przykład \(\displaystyle{ z^2 +i-1=0}\). Proszę mi powiedzieć, czy rozwiązałem to dobrze, jeśli nie proszę wskazać błąd.
\(\displaystyle{ z^2=1-i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{1-i}}\)
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt{2}(cos\frac{\frac{\pi}{2}}{2}+i*sin\frac{\frac{\pi}{2}}{2})}\)
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{2}+i*sin\frac{\pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i*\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ z_0=1+i}\)
\(\displaystyle{ z_1=\sqrt{2}(cos\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}+i*sin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ z_1=\sqrt{2}(cos\frac{5\pi}{4}+i*sin\frac{5\pi}{4})}\)
\(\displaystyle{ z_1=\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}-i*\frac{1}{\sqrt{2}})}\)
\(\displaystyle{ z_1=-1-i}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{1-i}=\{1+i,-1-i\}}\)
Już nie chodzi mi o sprawdzenie wyniku, ale czy dobry jest tok rozumowania. Z góry dziękuje za pomoc.
Rozwiązanie równania
-
Elminster
- Użytkownik
- Posty: 162
- Rejestracja: 22 wrz 2006, o 17:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 40 razy
Rozwiązanie równania
Nie wiem czy to rozwiązanie jest dobre, bo tu nawet nie ma jednoznacznego wyniku. Proponuję to zrobić tak:
Niech szukaną liczbą będzie \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
Wtedy równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ (a+bi) ^{2} = 1 - i
a ^{2} +2abi-b ^{2} = 1 - i}\)
Porównując części urojone i rzeczywiste obu stron otrzymujemy układ:
\(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2} = 1
2ab=-1}\)
Rozwiązując go otrzymujemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ a= \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} \wedge b= - \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2}}\)
Oraz:
\(\displaystyle{ a= - \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} \wedge b= \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2}}\)
Zatem oczywiście rozwiązaniem równania są liczby:
\(\displaystyle{ z=\frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} - \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2} i}\)
Oraz:
\(\displaystyle{ z=\frac{- \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} + \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2} i}\)
Niech szukaną liczbą będzie \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
Wtedy równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ (a+bi) ^{2} = 1 - i
a ^{2} +2abi-b ^{2} = 1 - i}\)
Porównując części urojone i rzeczywiste obu stron otrzymujemy układ:
\(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2} = 1
2ab=-1}\)
Rozwiązując go otrzymujemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ a= \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} \wedge b= - \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2}}\)
Oraz:
\(\displaystyle{ a= - \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} \wedge b= \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2}}\)
Zatem oczywiście rozwiązaniem równania są liczby:
\(\displaystyle{ z=\frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} - \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2} i}\)
Oraz:
\(\displaystyle{ z=\frac{- \sqrt{2 \sqrt{2} +2} }{2} + \frac{ \sqrt{2 \sqrt{2} -2} }{2} i}\)