interpretacja geometryczna zbioru pkt.

[madaf007]

Mam takie zadanko:
Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ {z ∈ C : 0 \le Im(iz) < 1, 0 \le arg(\overline{z}) \le \frac{\pi}{2}}.}\)

Zrobiłem to tak:
z=a+bi
iz=ai-b
iz=-b+ai
Im(iz)=a <-- tutaj mam wątpliwości czy to prawda. Czy może część urojona to po prostu b?

jeśli chodzi o argument:
z=a+bi
\(\displaystyle{ \overline{z}=a-bi}\)
\(\displaystyle{ |\overline{z}|=|z|}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=|z|(\frac{a}{|z|}+i*\frac{b}{|z|})}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{a}{|z|}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{b}{|z|}}\)

I ostatecznie wyszedł mi 1/4 okręgu o promieniu 1 w pierwszej ćwiartce, gdzie środek jest w pkt (0,0). Czy to jest dobrze rozwiązane?

[BettyBoo]

Początek masz dobrze - pierwszy warunek ma postać \(\displaystyle{ 0<a<1}\), więc to jest pionowy (nieskończony) pas.

Dalej już trochę oszukujesz
\(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)\ \Rightarrow \ \overline{z}=|z|(cos\alpha-isin\alpha)\ \Rightarrow \
\overline{z}=|z|(cos(-\alpha)+isin(-\alpha))}\)

A więc jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest argumentem z, to argumentem \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest \(\displaystyle{ -\alpha}\). Zatem drugi warunek ma postać \(\displaystyle{ 0 \le -\alpha \le \frac{\pi}{2}}\ \Rightarrow \ -\frac{\pi}{2}}\le \alpha\le 0}\) - a więc to cała czwarta ćwiartka (razem z półprostymi ograniczającymi).

Rozwiązaniem jest część pasa \(\displaystyle{ 0<a<1}\) leżąca w 4 ćwiartce.

Pozdrawiam.

[madaf007]

Ahaa:D Dziekuję bardzo:)