Sprawdzić, że istotnie zespolone pierwiastki wielomianu drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych są liczbami sprzężonymi.
Niby oczywiste, bo wynika ze wzoru na pierwiastki, ale nie umiem tego udowodnic.
Proszę o pomoc.
Dowód - zespolone pierwiastki wielomianu drugiego stopnia.
-
miodzio1988
Dowód - zespolone pierwiastki wielomianu drugiego stopnia.
A z czego wynika wzór na pierwiastki? Wystaczy takie rozumowanie przeprowadzic jak przy wyprowadzaniu tego zbioru. Dlugi sposob ale sposob. Rogal to zrobił w kompendium więc poszukaj jak nie umiesz tego zrobić.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Dowód - zespolone pierwiastki wielomianu drugiego stopnia.
Po porównaniu postaci ogólnej wielomianu z postacią iloczynową otrzymasz
lub po skorzystaniu ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \begin{cases} z_{1}+z_{2} \in \mathbb{R} \\ z_{1}z_{2} \in \mathbb{R} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+bi+c+di \in \mathbb{R} \\ \left(a+bi \right) \left(c+di \right) \in \mathbb{R} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left(a+c \right) + \left(b+d\right) i \in \mathbb{R} \\ \left(ac-bd \right) + \left(bc+ad \right) i \in \mathbb{R} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b+d=0 \\ bc+ad=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ -dc+ad=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ d \left( a-c\right) =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ a-c=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ a=c \end{cases}}\)
I to jest to co chcieliśmy pokazać
lub po skorzystaniu ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \begin{cases} z_{1}+z_{2} \in \mathbb{R} \\ z_{1}z_{2} \in \mathbb{R} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+bi+c+di \in \mathbb{R} \\ \left(a+bi \right) \left(c+di \right) \in \mathbb{R} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left(a+c \right) + \left(b+d\right) i \in \mathbb{R} \\ \left(ac-bd \right) + \left(bc+ad \right) i \in \mathbb{R} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b+d=0 \\ bc+ad=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ -dc+ad=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ d \left( a-c\right) =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ a-c=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-d \\ a=c \end{cases}}\)
I to jest to co chcieliśmy pokazać