wyznaczyc pierwiastki, zaznaczyc w ukladzie, sprawdzic

[okon]

Mam takie o to równanie:
\(\displaystyle{ z^{4}-4z^{2}+8=0}\)

robię to tak:
\(\displaystyle{ z^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-4t+8=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4i}\)
\(\displaystyle{ t_{1}= \frac{4+4i}{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}= \frac{4-4i}{2}}\)
...

[crimlee]

no i teraz wykorzystaj to początkowe podstawienie \(\displaystyle{ t=z^2}\)

[okon]

no tak. ale |z| wychodzi dziwny...

[crimlee]

dziwny tzn. jaki?

[okon]

\(\displaystyle{ \sqrt{2 \sqrt{2} }}\) chyba taki jak dobrze pamiętam.

[crimlee]

no to dziwny:)

początek masz dobry, teraz rozpisujesz wykorzystane podstawienie

\(\displaystyle{ z^2=2+2i \vee z^2=2-2i}\)

liczby \(\displaystyle{ 2+2i}\) oraz \(\displaystyle{ 2-2i}\) musisz sprowadzić do postaci trygonometrycznej liczby zespolonej, a potem zastosować wzór moivre na podnoszenie do danej potęgi

ułatwię poszukiwania

[okon]

oto moje obliczenia:
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2+2i}}\)
\(\displaystyle{ |z|=2 \sqrt{2}}\)
-------
\(\displaystyle{ cos\phi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\phi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
-------
więc \(\displaystyle{ \phi= \frac{\Pi}{4}}\)
Podstawiając do wzoru:
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt{2 \sqrt{2} }(cos \frac{ \frac{\Pi}{4} }{2}+isin\frac{ \frac{\Pi}{4} }{2})}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt{2 \sqrt{2} }(cos \frac{\Pi}{8}+isin \frac{\Pi}{8}}\)
Dalej ze wzorów redukcyjnych:
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt{2 \sqrt{2} }(-cos \frac{\Pi}{8}-isin \frac{\Pi}{8}}\)

________________________________________
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2-2i}}\)
\(\displaystyle{ |z|=2 \sqrt{2}}\)
-------
\(\displaystyle{ cos\phi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\phi= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
-------
więc dla kosinusa\(\displaystyle{ \phi= \frac{\Pi}{4}}\)
a dla sinusa \(\displaystyle{ \phi= -\frac{\Pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}= \sqrt{2 \sqrt{2} }(cos \frac{\Pi}{8}-isin \frac{\Pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ z_{4}= \sqrt{2 \sqrt{2} }(-cos \frac{\Pi}{8}+isin \frac{\Pi}{8}}\)

No i teraz mam podstawić \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{8}= \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}}\)
Potem pomnożyć przez |z| czyli: \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\)
i to będą te pierwiastki które mam zaznaczyć w układzie?...
No i jeszcze na końcu dokonać sprawdzenie...
Nie wiem...

I mam jeszcze jedno pytanie. Na sprawdzianie miałem inny przykład, |z| wychodził ładnie 1, ale jak sprowadzałem do postaci trygonometrycznej wychjodziły mi argumenty \(\displaystyle{ \frac{3}{8}\Pi}\)
No i moje pytanie... jak zaznaczyć takie cudo w układzie? czy to mozna jakoś inaczej zrobić...
bo na końcu jak podstawialem z=a+bi wychodziły takie same dziwne wyniki....

[BettyBoo]

Można inaczej. Wystarczy skorzystać z dość oczywistego faktu, że pierwiastek z liczby zespolonej jest liczbą zespoloną, tzn, że mamy równość

\(\displaystyle{ \sqrt{2+2i}=a+bi\ \Rightarrow \ 2+2i=a^2-b^2+2abi\ \Rightarrow \ \begin{cases} a^2-b^2=2 \\ 2ab=2\end{cases}}\)

Pozostaje rozwiązanie tego układu (liczby a i b są rzeczywiste).

Pozdrawiam.