Rozwiązać równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Nero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 2 sty 2009, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Rozwiązać równanie zespolone

Post autor: Nero »

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu.
zad. Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ (z + i)^{4} - (z - i)^{4} = 0}\)
Ostatnio zmieniony 7 lis 2009, o 22:28 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nazwa tematu powinna lepiej oddawać treść zadania. Większa ilość klamer [latex] nie powoduje zwiększenia czytelności zapisu. Używaj jednej pary klamer na całe wyrażenie matematyczne.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Rozwiązać równanie zespolone

Post autor: Lorek »

Noo rozkład na czynniki np.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Rozwiązać równanie zespolone

Post autor: xiikzodz »

Bez żadnego rozkładania.

Liczby \(\displaystyle{ z+i, z-i}\) nie są jednocześnie zerami, więc rownanie jest rownoważne:

\(\displaystyle{ \left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1}\)

skąd:

\(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}=i^k}\)

dla \(\displaystyle{ k\in\{1,2,3\}}\), bo \(\displaystyle{ z+i\neq z-i}\).

Co przekształcamy do postaci:

\(\displaystyle{ z+i=(z-i)i^k}\)

czyli:

\(\displaystyle{ z(i^k-1)=i^{k+1}+i}\)

równoważnie:

\(\displaystyle{ z=\frac{i^{k+1}+i}{i^k-1}}\)

i wstawiając kolejno \(\displaystyle{ k=1,2,3}\)

otrzymujemy rozwiązania:

\(\displaystyle{ 1,0,-1}\)
Ostatnio zmieniony 8 lis 2009, o 14:03 przez xiikzodz, łącznie zmieniany 2 razy.
Nero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 2 sty 2009, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Rozwiązać równanie zespolone

Post autor: Nero »

Dzięki wielkie za to zadanie, ale nie rozumiem jednego zapisu, a mianowicie:
xiikzodz pisze: \(\displaystyle{ w=re^{k\pi i/4}}\)
Mogłabyś to jakoś wytłumaczyć, może na przykładzie dla k = 0
Ostatnio zmieniony 8 lis 2009, o 12:26 przez Nero, łącznie zmieniany 2 razy.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Rozwiązać równanie zespolone

Post autor: xiikzodz »

Pytanie się zdezaktualizowało, ale warto odpowiedzieć:

\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi}\).

Szczególnie wygodne jest to przy wypisywaniu pierwiastków z jedynki.

W rozwiązaniu powyżej dochodzimy do:

\(\displaystyle{ \left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}}\) jest pierwiastkiem czwartego stopnia z jedynki, zatem ma postać \(\displaystyle{ e^{k\pi i/2}}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{0,1,2,3\}}\), lub równoważnie jest postaci \(\displaystyle{ i^k}\), bo \(\displaystyle{ e^{i\pi/2}=i}\). Przy czym w powyższym rozwiązaniu \(\displaystyle{ k=0}\) jest wykluczone, bo wówczas \(\displaystyle{ z=i=z-i}\) co jest niemożliwe.
ODPOWIEDZ