Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu.
zad. Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ (z + i)^{4} - (z - i)^{4} = 0}\)
Rozwiązać równanie zespolone
Rozwiązać równanie zespolone
Ostatnio zmieniony 7 lis 2009, o 22:28 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nazwa tematu powinna lepiej oddawać treść zadania. Większa ilość klamer[latex] nie powoduje zwiększenia czytelności zapisu. Używaj jednej pary klamer na całe wyrażenie matematyczne.
Powód: Nazwa tematu powinna lepiej oddawać treść zadania. Większa ilość klamer
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Rozwiązać równanie zespolone
Bez żadnego rozkładania.
Liczby \(\displaystyle{ z+i, z-i}\) nie są jednocześnie zerami, więc rownanie jest rownoważne:
\(\displaystyle{ \left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1}\)
skąd:
\(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}=i^k}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\{1,2,3\}}\), bo \(\displaystyle{ z+i\neq z-i}\).
Co przekształcamy do postaci:
\(\displaystyle{ z+i=(z-i)i^k}\)
czyli:
\(\displaystyle{ z(i^k-1)=i^{k+1}+i}\)
równoważnie:
\(\displaystyle{ z=\frac{i^{k+1}+i}{i^k-1}}\)
i wstawiając kolejno \(\displaystyle{ k=1,2,3}\)
otrzymujemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ 1,0,-1}\)
Liczby \(\displaystyle{ z+i, z-i}\) nie są jednocześnie zerami, więc rownanie jest rownoważne:
\(\displaystyle{ \left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1}\)
skąd:
\(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}=i^k}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\{1,2,3\}}\), bo \(\displaystyle{ z+i\neq z-i}\).
Co przekształcamy do postaci:
\(\displaystyle{ z+i=(z-i)i^k}\)
czyli:
\(\displaystyle{ z(i^k-1)=i^{k+1}+i}\)
równoważnie:
\(\displaystyle{ z=\frac{i^{k+1}+i}{i^k-1}}\)
i wstawiając kolejno \(\displaystyle{ k=1,2,3}\)
otrzymujemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ 1,0,-1}\)
Ostatnio zmieniony 8 lis 2009, o 14:03 przez xiikzodz, łącznie zmieniany 2 razy.
Rozwiązać równanie zespolone
Dzięki wielkie za to zadanie, ale nie rozumiem jednego zapisu, a mianowicie:
Mogłabyś to jakoś wytłumaczyć, może na przykładzie dla k = 0xiikzodz pisze: \(\displaystyle{ w=re^{k\pi i/4}}\)
Ostatnio zmieniony 8 lis 2009, o 12:26 przez Nero, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Rozwiązać równanie zespolone
Pytanie się zdezaktualizowało, ale warto odpowiedzieć:
\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi}\).
Szczególnie wygodne jest to przy wypisywaniu pierwiastków z jedynki.
W rozwiązaniu powyżej dochodzimy do:
\(\displaystyle{ \left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}}\) jest pierwiastkiem czwartego stopnia z jedynki, zatem ma postać \(\displaystyle{ e^{k\pi i/2}}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{0,1,2,3\}}\), lub równoważnie jest postaci \(\displaystyle{ i^k}\), bo \(\displaystyle{ e^{i\pi/2}=i}\). Przy czym w powyższym rozwiązaniu \(\displaystyle{ k=0}\) jest wykluczone, bo wówczas \(\displaystyle{ z=i=z-i}\) co jest niemożliwe.
\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi}\).
Szczególnie wygodne jest to przy wypisywaniu pierwiastków z jedynki.
W rozwiązaniu powyżej dochodzimy do:
\(\displaystyle{ \left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}}\) jest pierwiastkiem czwartego stopnia z jedynki, zatem ma postać \(\displaystyle{ e^{k\pi i/2}}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{0,1,2,3\}}\), lub równoważnie jest postaci \(\displaystyle{ i^k}\), bo \(\displaystyle{ e^{i\pi/2}=i}\). Przy czym w powyższym rozwiązaniu \(\displaystyle{ k=0}\) jest wykluczone, bo wówczas \(\displaystyle{ z=i=z-i}\) co jest niemożliwe.