liczba rozwiazan

Hellbike · Post autor: **Hellbike** » 4 lis 2009, o 18:49

\(\displaystyle{ z^{6} = (3+i)^{12}}\)

Interesuje mnie liczba mozliwych rozwiazan. Jesli jest ona wieksza niz 1, to prosze o uzasadnienie.-- 4 listopada 2009, 20:40 --jak ma tylko 1 rozwiazanie, to tez niech ktos napisze:>

soku11 · Post autor: **soku11** » 4 lis 2009, o 20:59

Masz \(\displaystyle{ z^6}\), więc będzie 6 rozwiązań

Pozdrawiam.

Hellbike · Post autor: **Hellbike** » 4 lis 2009, o 21:16

dlaczego 6? spodziewal bym sie conajwyzej dwoch...

\(\displaystyle{ z^{6}=((3+i)^{2})^{6}}\)

rozumiem, ze musialbym policzyc \(\displaystyle{ \sqrt[6]{((3+i)^{12}}}\) zeby otrzymac wyniki?

soku11 · Post autor: **soku11** » 4 lis 2009, o 21:52

Właśnie tak trzeba zrobić Masz właśnie równanie postaci:
\(\displaystyle{ z^6=w,\;\;w=(3+i)^12\\}\)

W ciele liczb zespolonych się tak łatwo nie skraca, niestety.

Pozdrawiam.

Hellbike · Post autor: **Hellbike** » 16 lis 2009, o 13:36

a jak mam znalezc argument dla liczby 3-i ?
tzn, \(\displaystyle{ cos x = \frac{3}{ \sqrt{10} }}\) oraz \(\displaystyle{ sin x = \frac{-1}{ \sqrt{10} }}\)

bo chyba musze to zrobic, zeby moc podniesc ta liczbe do 12-tej potegi

zrobilem blad, juz poprawilem

soku11 · Post autor: **soku11** » 16 lis 2009, o 22:30

Rzeczywiście tutaj jest z tym problem :/ Trzeba inaczej kombinować. Nie chcę wprowadzać w błąd, ale coś pamiętam, że można to obustronnie podnieść do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\), ale aby otrzymać wszystkie pierwiastki trzeba to przemnożyć przez wszystkie pierwiastki z szóstki, czy jakoś tak.

Co do samego problemu, to:
\(\displaystyle{ z^{6} = (3+i)^{12}\\
z^6-(3+i)^{12}=0\\
(z^3)^2-[(3+i)^6]^2=0\\
[z^3-(3+i)^6][z^3+(3+i)^6]=0\\
\{z^3-[(3+i)^3]^2\}\{z^3+[(3+i)^3]^2\}=0\\}\)

I dalej wzór na różnicę i sumę sześcianów

Pozdrawiam.